Bài 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có AD là đường trung tuyến (D∈BC).

a) Chứng minh △ABD = △ACD và AD là đường cao của tam giác ABC.

b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm B và song song với đường thẳng AD. Tia CA cắt đường thẳng d tại E, ED cắt AB tại H, CH cắt BE tại M, AM cắt ED tại I. Chứng minh ED = 2EI.

a) Chứng minh △ABD = △ACD và AD là đường cao của tam giác ABC.

△ABC cân tại A Þ AB = AC và

△ABC có AD là đường trung tuyến (D∈BC) Þ D là trung điểm BC Þ DB=DC

Xét △ABD và △ACD, ta có

AB = AC (cmt); AD là cạnh chung; DB = DC (cmt)

Vậy △ABD = △ACD (c-c-c)

Þ  (2 góc tương ứng) mà (2 góc kề bù)

Þ Þ AD ^ BC tại D

Þ AD là đường cao của tam giác ABC

b) Chứng minh ED = 2EI

Ta có BE // AD (gt), AD ^ BC(cmt) Þ BE ^ BC tại B

Do đó

△BEC vuông tại B Þ

Mà (cmt) Þ Þ △EAB cân tại A Þ AB = AE mà AB = AC (cmt) Þ AE=AC mà A Î EC Þ A là trung điểm EC

△BEC có trung tuyến BA(A là trung điểm của EC) và trung tuyến ED (D là trung điểm BC) cắt nhau tại H Þ H là trọng tâm của △BEC

△BEC có H là trọng tâm, CH cắt BE tại M Þ M là trung điểm của BE mà AB = AE nên A, M nằm trên đường trung trực của BE Þ AM là đường trung trực của BE.

AM cắt ED tại I Þ I Î AM Þ IE = IB Þ △EIB cân tại I Þ (1)

△EBD vuông tại B Þ  và  kết hợp (1) Þ

Þ △IBD cân tại I Þ IB = ID mà IE = IB(cmt) Þ IE = ID mà I Î ED Þ I là trung điểm của ED Þ ED = 2EI