TÍNH TỔNG DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT

(Dạng bài: Phân tích mẫu số thành tích của hai số cách đều)

I. MỤC TIÊU BÀI HỌC

• Kiến thức: Học sinh nắm được bản chất của công thức tách phân số và hiểu rõ vì sao phải "mượn" rồi "trả" bằng nhân tử chung.

• Kỹ năng: Học sinh nhận diện được khoảng cách ở mẫu, tự đặt đúng nhân tử chung ra ngoài và thu gọn dãy số triệt tiêu.

• Hiểu bản chất: Biết tại sao một phân số lại tách thành hiệu hai phân số.

• Nắm vững chìa khóa: Nhận biết mối quan hệ giữa Tử số và Khoảng cách giữa hai thừa số ở Mẫu số.

• Thành thạo kỹ năng: Tự xử lý được 3 trường hợp:

  1. Tử số = Khoảng cách mẫu (Dễ nhất).

  2. Tử số < Khoảng cách mẫu (Mượn - Trả bằng nhân tử chung).

  3. Mẫu chưa phân tích thành tích (Phải tách mẫu trước).

II. ÔN KIẾN THỨC CŨ - LÀM QUEN

1. Tính: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{3 . 4} = \frac{1}{3 . 4}$

2. Tính: $\frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 4}{4 . 7} = \frac{3}{4 . 7}$

Các em quan sát nhé:

• Ở phép tính thứ nhất: Hiệu giữa hai số ở mẫu là $4 - 3 = 1$. Tử số thu được đúng bằng $1$.

• Ở phép tính thứ hai: Hiệu giữa hai số ở mẫu là $7 - 4 = 3$. Tử số thu được đúng bằng $3$.

III. NỘI DUNG BÀI HỌC CHÍNH

1. Công thức "Vàng" (Cần học thuộc)

Muốn tách một phân số thành hiệu của hai phân số, ta dùng công thức:

$$\frac{n}{x . (x + n)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + n}$$

Ví dụ minh họa 

• Trường hợp 1 (Khoảng cách = 1):

  $$\frac{1}{3 . 4} = \frac{4 - 3}{3 . 4} = \frac{4}{3 . 4} - \frac{3}{3 . 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$$

  (Khoảng cách $4 - 3 = 1$, tử số bằng $1 \rightarrow$ Tách trực tiếp).

• Trường hợp 2 (Khoảng cách = 3):

  $$\frac{3}{4 . 7} = \frac{7 - 4}{4 . 7} = \frac{7}{4 . 7} - \frac{4}{4 . 7} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7}$$

  (Khoảng cách $7 - 4 = 3$, tử số bằng $3 \rightarrow$ Tách trực tiếp).

⚠️ ĐIỀU KIỆN QUAN TRỌNG NHẤT:

Tử số ($n$) BẮT BUỘC phải bằng Khoảng cách giữa hai số dưới mẫu!

• Ví dụ 1: $\frac{1}{3 . 4}$ có khoảng cách mẫu là $4 - 3 = 1$. Tử số là $1$ $\rightarrow$ Đủ điều kiện!

  $$\frac{1}{3 . 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$$

• Ví dụ 2: $\frac{3}{4 . 7}$ có khoảng cách mẫu là $7 - 4 = 3$. Tử số là $3$ $\rightarrow$ Đủ điều kiện!

  $$\frac{3}{4 . 7} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7}$$

2. Giải quyết bài toán thực tế (Trọng tâm)

DẠNG 1: Tử số ĐÃ BẰNG Khoảng cách ở mẫu (Bài a - Hình 2)

Đề bài: Tính $A = \frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} + \dots + \frac{1}{1999 . 2000}$

• Bước 1 (Soi khoảng cách):

  Mẫu số là $1 . 2 \rightarrow$ khoảng cách $2 - 1 = \mathbf{1}$. Tử số bằng $\mathbf{1}$.

  👉 Đã đủ điều kiện tách ngay!

• Bước 2 (Tách đồng loạt):

  $$A = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{1999} - \frac{1}{2000}\right)$$

• Bước 3 (Triệt tiêu dây chuyền):

  Các số hạng ở giữa sẽ cặp đôi triệt tiêu nhau: $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$, $-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$,...

  Dãy số chỉ còn lại đầu và cuối:

  $$A = 1 - \frac{1}{2000} = \frac{1999}{2000}$$

💡 Lưu ý nâng cao: Vì $A = 1 - \frac{1}{2000}$ nên $A < 1$. Dạng này rất hay dùng cho các bài toán So sánh tổng với 1.

DẠNG 2: Nhóm dấu trừ + Đổi thứ tự dãy số + Bấm máy tính Casio (Bài b)

Đề bài: Tính $B = \frac{8}{9} - \frac{1}{72} - \frac{1}{56} - \frac{1}{42} - \dots - \frac{1}{6} - \frac{1}{2}$

🔍 Bước 1: Nhận diện "vật cản" và xử lý dấu

Nhìn vào đề bài, các em thường bị "ngợp" vì có quá nhiều dấu trừ. Ta sẽ hướng dẫn các em 2 kỹ thuật xử lý:

1. Giữ nguyên phân số đầu tiên ($\frac{8}{9}$): Phân số này đứng riêng một mình, ta không đụng tới.

2. Đặt dấu trừ ra ngoài ngoặc: Nhóm toàn bộ các phân số mang dấu âm lại. Khi đưa dấu trừ ra ngoài, tất cả dấu bên trong ngoặc đổi thành dấu cộng.

3. Sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần (Sử dụng tính chất $a + b = b + a$): Đảo ngược dãy từ số nhỏ ($\frac{1}{2}$) đến số lớn ($\frac{1}{72}$) để dãy số xuôi mắt, dễ nhận xét quy luật hơn.

$$B = \frac{8}{9} - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} \right)$$

💡 Bước 2: Phân tích mẫu số thành tích (Mẹo bấm máy Casio)

🗣️ Lời giảng cho HS: "Các mẫu số $2, 6, 42, 56, 72$ trông có vẻ không liên quan, nhưng thực ra chúng là tích của hai số tự nhiên liên tiếp! Nếu không nhẩm được, ta dùng máy tính Casio để phân tích ra thừa số nguyên tố."

• Cách bấm Casio (fx-580VN X / fx-880BTG):

  Nhập số mẫu (ví dụ 42) $\rightarrow$ Bấm = $\rightarrow$ Bấm Shift + FACT $\rightarrow$ Máy hiện $2 . 3 . 7 = (2 . 3) . 7 = 6 . 7$.

Ta phân tích các mẫu số:

• $2 = 1 . 2$

• $6 = 2 . 3$

• $42 = 6 . 7$

• $56 = 7 . 8$

• $72 = 8 . 9$

Thay vào biểu thức:

$$B = \frac{8}{9} - \left( \frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \dots + \frac{1}{6 . 7} + \frac{1}{7 . 8} + \frac{1}{8 . 9} \right)$$

✂️ Bước 3: Tách và Triệt tiêu trong ngoặc

Nhìn vào trong ngoặc: Khoảng cách dưới mẫu là $2 - 1 = 1$, tử số bằng $1 \rightarrow$ Áp dụng ngay công thức tách quen thuộc:

$$B = \frac{8}{9} - \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right)$$

Rút gọn các cặp số đối nhau ở giữa, trong ngoặc chỉ còn lại Số đầu và Số cuối:

$$B = \frac{8}{9} - \left( 1 - \frac{1}{9} \right)$$

🧮 Bước 4: Bỏ ngoặc và Tính kết quả cuối cùng

Mở ngoặc có dấu trừ đằng trước (chú ý đổi dấu bên trong):

$$B = \frac{8}{9} - 1 + \frac{1}{9}$$

Gom các phân số cùng mẫu $9$ lại với nhau:

$$B = \left( \frac{8}{9} + \frac{1}{9} \right) - 1$$
$$B = \frac{9}{9} - 1 = 1 - 1 = 0$$

📌 ĐIỂM CẦN LƯU Ý 

1. Lỗi hay sai nhất: Rất nhiều HS quên đổi dấu $+\frac{1}{9}$ thành $-\frac{1}{9}$ khi tách trong ngoặc, hoặc quên đổi $-\frac{1}{9}$ thành $+\frac{1}{9}$ khi phá ngoặc ra ngoài.

2. Nhấn mạnh: Luôn ưu tiên đưa dãy số về dạng tăng dần ($\frac{1}{1 . 2}$ đến $\frac{1}{8 . 9}$) để không bị nhầm lẫn số đầu và số cuối.

DẠNG 3: Tử số NHỎ HƠN Khoảng cách ở mẫu (Bài c - Hình 3)

Đề bài: Tính $C = \frac{1}{1 . 4} + \frac{1}{4 . 7} + \frac{1}{7 . 10} + \dots + \frac{1}{100 . 103}$

• Bước 1 (Bắt bệnh):

  • Khoảng cách ở mẫu: $4 - 1 = \mathbf{3}$.

  • Tử số đề bài cho: $\mathbf{1}$.

  • ❌ Chưa đủ điều kiện! Muốn tách thì tử số bắt buộc phải là $3$.

• Bước 2 (Mượn - Trả bằng Nhân tử chung):

  • Ta nhân tất cả các tử số với $3$ để có số $3$ cần thiết.

  • Vì tự ý nhân $3$, ta phải "trả nợ" bằng cách nhân với $\frac{1}{3}$ ở phía trước ngoặc.

  $$C = \frac{1}{3} . \left( \frac{3}{1 . 4} + \frac{3}{4 . 7} + \frac{3}{7 . 10} + \dots + \frac{3}{100 . 103} \right)$$

• Bước 3 (Tách và tính):

  $$C = \frac{1}{3} . \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{100} - \frac{1}{103} \right)$$
  $$C = \frac{1}{3} . \left( 1 - \frac{1}{103} \right) = \frac{1}{3} . \frac{102}{103} = \frac{34}{103}$$

Quan sát các cặp số đối nhau ở giữa:

• $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$

• $-\frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 0$

• ... tự triệt tiêu hết từ đầu đến cuối!

Biểu thức chỉ còn lại Số đầu tiên và Số cuối cùng:

$$C = \frac{1}{3} . \left( 1 - \frac{1}{103} \right)$$

🧮 Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng

$$C = \frac{1}{3} . \left( \frac{103 - 1}{103} \right)$$
$$C = \frac{1}{3} . \frac{102}{103}$$
$$C = \frac{34}{103}$$

DẠNG 4: Kết hợp dạng 2 và 3, Mẫu số CHƯA PHÂN TÍCH + Có dấu âm (Bài d - Hình 4)

Đề bài: Tính $D = -\frac{1}{3} + \frac{-1}{15} + \frac{-1}{35} + \frac{-1}{63} + \dots + \frac{-1}{9999}$

• Bước 1 (Xử lý dấu âm): Đưa dấu trừ ra ngoài làm nhân tử chung.

  $$D = -\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \dots + \frac{1}{9999} \right)$$

• Bước 2 (Phân tích mẫu số thành tích):

  Ép các mẫu số về dạng tích của hai số có quy luật:

  • $3 = 1 . 3$

  • $15 = 3 . 5$

  • $35 = 5 . 7$

  • ...

  • $9999 = 99 . 101$

  $$D = -\left( \frac{1}{1 . 3} + \frac{1}{3 . 5} + \frac{1}{5 . 7} + \frac{1}{7 . 9} + \dots + \frac{1}{99 . 101} \right)$$

• Bước 3 (Nhận diện khoảng cách & Mượn - Trả):

  Khoảng cách dưới mẫu là $3 - 1 = \mathbf{2}$. Tử số đang là $1$.

  👉 Ta nhân tử với $2$ và đưa $\frac{1}{2}$ ra ngoài:

  $$D = -\frac{1}{2} . \left( \frac{2}{1 . 3} + \frac{2}{3 . 5} + \frac{2}{5 . 7} + \dots + \frac{2}{99 . 101} \right)$$

• Bước 4 (Tách và rút gọn):

  $$D = -\frac{1}{2} . \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101} \right)$$
  $$D = -\frac{1}{2} . \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = -\frac{1}{2} . \frac{100}{101} = -\frac{50}{101}$$

IV. BÍ KÍP "BỎ TÚI" CHO các em

Để học sinh không bị rối ở các bài tập khác, thầy/cô chốt lại quy tắc đơn giản sau:

$$\text{Tổng} = \frac{1}{\text{Khoảng cách dưới mẫu}} . \left( \frac{1}{\text{Số nhỏ nhất ở mẫu đầu}} - \frac{1}{\text{Số lớn nhất ở mẫu cuối}} \right)$$

Dạng mẫu	Khoảng cách	Nhân tử chung rút ra ngoài
$\frac{1}{1 . 3} + \frac{1}{3 . 5} + \dots$	$3 - 1 = \mathbf{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{1 . 4} + \frac{1}{4 . 7} + \dots$	$4 - 1 = \mathbf{3}$	$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{1 . 5} + \frac{1}{5 . 9} + \dots$	$5 - 1 = \mathbf{4}$	$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{x(x+k)}$	$\mathbf{k}$	$\frac{1}{k}$