Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC () , đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a. AE = AF;

b. HA là phân giác của ;

c. CM // EH; BN // FH.

a. Chứng minh AE = AF

Ta có E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC do đó:

AB vuông góc tại trung điểm của HE Þ  AB là trung trực của HE Þ AE = AH (1)

AC vuông góc tại trung điểm của HF Þ  AC là trung trực của HF Þ AF = AH kết hợp (1) ta được AE = AF

b) Chứng minh HA là phân giác của  

Vì AB là trung trực của HE nên ME = MH (M AB).

Vì AC là trung trực của HF nên NH = NF (N AC).

Xét rAEM và rAHM ta có:

AE =AH (cmt)

ME = MH(cmt)

AM là cạnh chung

Suy ra rAEM = rAHM (c-c-c)

Þ (2 góc tương ứng)

Chứng minh tương tự ta được rAFN = rAHN (c-c-c)

Þ  (2 góc tương ứng)

Lại có AE = AF nên rAEF cân tại A Þ .

Do đó  mà tia HA nằm trong góc MHN nên HA là phân giác của .

c) Chứng minh CM // EH; BN // FH

Các em lưu ý không dùng tia phân giác góc ngoài nhé

Vẽ CK ^ MH, CL ^ NH, CI ^ NF.

Vì rAFN = rAHN Þ (2 góc tương ứng)

 Mà  và (2 góc kề bù)

Þ   mà tia NC nằm trong góc HNF nên NC là phân giác của góc HNF Þ CL = CI (tính chất tia phân giác).

Ta có (cmt) và AH ^ BC tại H nên và suy ra

mà  (2 góc đối đỉnh) nên mà tia HC nằm trong góc NHK nên HC là phân giác của góc NHK Þ CL = CK (tính chất tia phân giác).

Suy ra  Þ C nằm trên đường phân giác của góc FMH Þ MC là phân giác của góc FMH Þ

Vì rAEM = rAHM Þ (2 góc tương ứng)

 Mà  và (2 góc kề bù)

Þ  mà  (2 góc đối đỉnh) nên

Suy ra  Þ CM ^ AB tại M mà EH ^ AB nên CM//EH

Chứng minh tương tự ta được BN // FH.