Bài 4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao AH.
a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH
b) Vẽ đường trung tuyến BK của tam giác ABC cắt AH tại G. Từ C kẻ đường thẳng song song với AH cắt BK tại I. Chứng minh KG = KI
c) Gọi HI cắt CG tại O. Chứng minh 2.BG=3.CO

Giải

a) Chứng minh $\triangle$ ABH = $\triangle$ ACH
AH là đường cao \Rightarrow AH ⊥ BC \Rightarrow $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

Xét ABH vuông tại H và ACH vuông tại H, ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Vậy $\triangle$ ABH = $\triangle$ ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Chứng minh KG = KI

BK là đường trung tuyến của $\triangle$ ABC $\Rightarrow$  K là trung điểm của AC $\Rightarrow$  KA = KC

Từ C kẻ đường thẳng song song với AH cắt BK tại I CI//AH $\widehat{KAG}=\widehat{KCI}$(2 góc soletrong)

Xét $\triangle$ AKG và $\triangle$ CKI, ta có

$\widehat{AKG}=\widehat{CKI}$(2 góc đối đỉnh)

KA = KC (cmt)

$\widehat{KAG}=\widehat{KCI}$(cmt)

Vậy $\triangle$ AKG = $\triangle$ CKI (g-c-g) $\Rightarrow$ KG = KI (2 cạnh tương ứng)

c) Chứng minh 2.BG=3.CO

Ta có $\triangle$ ABH = $\triangle$ ACH (cmt) $\Rightarrow$ HB = HC (2 cạnh tương ứng) mà H $\in$  BC $\Rightarrow$  H là trung điểm BC $\Rightarrow$ AH là đường trung tuyến của $\triangle$ ABC

$\triangle$ ABC có 2 đường trung tuyến BK và AH cắt nhau tại G $\Rightarrow$ G là trọng tâm của $\triangle$ ABC

Suy ra BG = 2.KG (tính chất trọng tâm) mà KG = KI $\Rightarrow$  GI = KG + KI = 2.KG $\Rightarrow$ GI = BG mà B, G, K, I cùng thuộc BI nên G là trung điểm BI $\Rightarrow$ CG là đường trung tuyến của BIC

$\triangle$ BIC có 2 đường trung tuyến CG và IH (H là trung điểm BC) cắt nhau tại O $\Rightarrow$  O là trọng tâm của $\triangle$ BIC $\Rightarrow$ $CO=\dfrac{2}{3}CG$(tính chất trọng tâm) (1)

Ta có AH $\perp$  HC và H là trung điểm BC $\Rightarrow$ AH là đường trung trực của BC , mà G $\in$ AH $\Rightarrow$ GB = GC kết hợp (1) ta được: $CO=\dfrac{2}{3}BG\Rightarrow 2.BG=3.CO$