△ ABC vuông tại A (AB < AC), E Î BC sao cho BA = BE. Kẻ HE ⊥ BC tại E (H Î AC).

a. Chứng minh: BH là tia phân giác của  và BH là đường trung trực của AE

b. Chứng minh: HC > HA

c. Gọi K là giao điểm  của BA và EH. Chứng minh: △BKC cân

d. Chứng minh: BH ⊥ KC và △HKC cân

e. Chứng minh:

a) Chứng minh: BH là tia phân giác của  và BH là đường trung trực của AE

Xét △ABH vuông tại A và △EBH vuông tại E có:

BH là cạnh huyền chung.

BA = BE (gt).

Suy ra △ABH = △EBH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra  (2 góc tương ứng)  

mà tia BH nằm trong góc  ⇒ BH là tia phân giác của .

Ta có BA = BE (gt) ⇒ B nằm trên đường trung trực của AE

HA = HE (2 cạnh tương ứng của △ABH = △EBH) ⇒ H nằm trên đường trung trực của AE

Suy ra BH là đường trung trực của đoạn thẳng AE.

b) Chứng minh: HC > HA

Xét △HEC vuông tại E nên cạnh huyền HC là cạnh lớn nhất nên HC > HE (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông).

Mà HE = HA (cmt) ⇒ HC > HA.

c) Chứng minh: △BKC cân

Xét △AHK vuông tại A và △EHC vuông tại E có:

HA = HE (cmt)

(2 góc đối đỉnh)

Suy ra △AHK = △EHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

AK = EC (2 cạnh tương ứng)

Mặc khác BA = BE (gt) do đó: BK = BA + AK = BE + EC = BC

△BKC có BK = BC (cmt) ⇒ △BKC cân tại B.

d) Chứng minh: BH ⊥ KC và △HKC cân

Ta có BK = BC (cmt) ⇒ B nằm trên đường trung trực của KC

HK = HC (2 cạnh tương ứng của △AHK = △EHC) ⇒ H nằm trên đường trung trực của KC

Suy ra BH là đường trung trực của đoạn thẳng KC nên BH ⊥ KC. (các em có thể chứng minh H là trực tâm để suy ra BH $\perp$ KC)

△HKC có HK = HC (cmt) ⇒ △HKC cân tại H.

e) Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào 3 tam giác △BHK; △BHC; △KHC

△BHK có: BH + HK > KB

△BHC có: BH + HC > BC

△KHC có: HK + HC > CK

Cộng vế theo vế ta được:

2BH +2HK + 2HC > KB + BC + CK

2(BH + HK + HC) > KB + BC + CK

Chia cả hai vế cho 2:

Suy ra ​​​​​​​