Tìm $x$, biết rằng:

a/ $|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x $

b/ $|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x - 1$

💡 Các em chú ý quan sát dạng bài này nhé

• Nhận xét vế trái: Vế trái là tổng của ba biểu thức giá trị tuyệt đối nên luôn luôn không âm với mọi $x$.

• Do đó, để đẳng thức xảy ra, vế phải bắt buộc cũng phải không âm ($4x \ge 0 \Rightarrow  x \ge 0$).

• Khi đã định vị được $x \ge 0$, tất cả các biểu thức nằm bên trong dấu giá trị tuyệt đối ($x+1, x+2, x+3$) đều trở thành các số dương. Lúc này, ta được phép phá đồng loạt tất cả các dấu trị tuyệt đối mà không cần chia khoảng phức tạp.

Lời giải

a/ $|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x $

$|x + 1| \ge 0$ với mọi giá trị của $x$

$|x + 2| \ge 0$ với mọi giá trị của $x$

$|x + 3| \ge 0$ với mọi giá trị của $x$

Suy ra vế trái của phương trình: $|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| \ge 0$ với mọi $x$.

Do đó, để đẳng thức xảy ra, vế phải bắt buộc cũng phải không âm:

Cách khác: 

Vế trái (VT): Là tổng của ba biểu thức giá trị tuyệt đối nên luôn luôn không âm ($\ge 0$) với mọi $x$.

Vế phải (VP): Để đẳng thức xảy ra, vế phải bắt buộc cũng phải không âm:

$4x \ge 0 \Rightarrow  x \ge 0$

Vì $x \ge 0$ suy ra các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đều dương:

$x + 1 > 0 \Rightarrow |x + 1| = x + 1$

$x + 2 > 0 \Rightarrow |x + 2| = x + 2$

$x + 3 > 0 \Rightarrow |x + 3| = x + 3$

Nên ta được:

$(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 4x$

$x + x + x + 1 + 2 + 3 = 4x$

$3x + 6 = 4x$

$4x - 3x = 6$

$x = 6$ thỏa điều kiện $ x \ge 0$

Vậy giá trị $x$ cần tìm là: $x = 6$.

b/ $|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x - 1$

Vế trái (VT): Là tổng của bốn biểu thức giá trị tuyệt đối nên luôn luôn không âm ($\ge 0$) với mọi $x$.

Vế phải (VP): Để đẳng thức xảy ra, vế phải bắt buộc cũng phải không âm:

$5x - 1 \ge 0 \implies 5x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{5}$

Với điều kiện $x \ge \frac{1}{5}$, ta thấy:

$x + 1 > 0 \Rightarrow |x + 1| = x + 1$

$x + 2 > 0 \Rightarrow |x + 2| = x + 2$

$x + 3 > 0 \Rightarrow |x + 3| = x + 3$

$x + 4 > 0 \Rightarrow |x + 4| = x + 4$

Nên ta được:

$(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 5x - 1$

$(x + x + x + x) + (1 + 2 + 3 + 4) = 5x - 1$

$4x + 10 = 5x - 1$

$10 + 1 = 5x - 4x$

$11 = x$

$\Rightarrow x = 11$ thỏa điều kiện $x \ge \frac{1}{5}$

Vậy giá trị $x$ cần tìm là: $x = 11$.