Bài 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AE lấy điểm M cho E là trung điểm của GM

a) Chứng minh △BME = △CGE và BM//CD

b) Cho AE = 6cm, AC = 9cm. Chứng minh BM<13cm

a) Chứng minh △BME = △CGE và BM//CD

△ABC có trung tuyến AE(E là trung điểm của BC) và trung tuyến CD (D là trung điểm AB) cắt nhau tại trọng tâm mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên G là giáo điểm của AE và CD.

Xét △BME và △CGE, ta có

BE = CE (do E là trung điểm BC)

(2 góc đối đỉnh)

EM = EG (do E là trung điểm của GM)

Vậy △BME = △CGE (c- g -c) Þ (2 góc tương ứng) mà 2 góc này nằm ở vị trí soletrong nên BM//CD.

b) Cho AE = 6cm, AC = 9cm. Chứng minh BM<13cm

△ABC có G là trọng tâm, AE là trung tuyến và AE = 6cm nên theo tính chất trọng tâm ta có:

△AGC có GC < AG + AC  (bất đẳng thức tam giác)

Þ GC < 4 + 9 =13 (cm)

Mà BM = GC (2 cạnh tương ứng của △BME = △CGE)

Þ BM < 13 cm