Câu 20. Cho △ABC cân tại A có đường phân giác AD và đường trung tuyến BE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh △ABH = △ACH.

b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt tia BE tại F. Chứng minh EH = EF.

c) Gọi G là giao điểm của FD với CH. Chứng minh .

a) Chứng minh △ABH = △ACH.

△ABC có đường phân giác AD ⇒ AD là đường phân giác góc BAC ⇒

Xét △ABH và △ACH, ta có:

AB = AC (△ABC cân tại A)

 (cmt)

AH là cạnh chung

Suy ra rABH = rACH (c.g.c)

b) Chứng minh EH = EF

△ABC có đường trung tuyến BE ⇒ E là trung điểm AC ⇒ AE = CE

CF // AD (gt) ⇒ ( 2 góc soletrong)

Xét △AEH và △CEF, ta có.

 (2 góc đối đỉnh)

AE = CE (cmt)

(cmt)

Suy ra △AEH = △CEF (g.c.g) ⇒ EH = EF (2 cạnh tương ứng)

c) Chứng minh .

Xét △ABD và △ACD, ta có:

AB = AC (△ABC cân tại A)

 (cmt)

AD là cạnh chung

Suy ra rABD = rACD (c.g.c) ⇒ BD = CD (2 cạnh tương ứng) mà D Î BC nên D là trung điểm BC

rABC có trung tuyến BE và trung tuyến AD (do D là trung điểm BC) cắt nhau tại H ⇒  H là trọng tâm của rABC ⇒ HB = 2HE (1) ( tính chất trọng tâm)

Mà EH = EF(cmt), H, E, F Î tia BE nên BH = 2HE = EH + EF = HF suy ra H là trung điểm BF.

rBCF có trung tuyến FD (do D là trung điểm BC)  và trung tuyến CH (do H là trung điểm BF) cắt nhau tại G ⇒  G là trọng tâm của rBCF ⇒  ( tính chất trọng tâm)

Mà HC = HB (2 cạnh tương ứng của rABH = rACH) ⇒  kết hợp (1) ta được

Vậy