ĐỀ SỐ 5 - TOÁN LỚP 7

Bài 1 (0.5đ): Tìm $x, y, z$ biết: $\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ và $x + y - z = 5$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{x+y-z}{2+4-5} = \frac{5}{1} = 5$

Do đó:

x = 5. 2 = 10

y = 5. 4 = 20

z = 5. 5 = 25

Vậy x = 10, y = 20, z = 25

(Lưu ý: Đề bài ghi tìm x, y, z  nên Thầy chuyển thành x,y,z do biểu thức trong đề chứa a, b, c).

Bài 2 (1.0đ): Một vòi nước chảy vào bể. Biết lưu lượng nước chảy mỗi phút ($x$ lít/phút) và thời gian để chảy đầy bể ($y$ phút) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi lưu lượng là 20 lít/phút thì vòi chảy đầy bể trong 30 phút.

a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$.

b) Nếu lưu lượng nước tăng lên thành 40 lít/phút thì vòi chảy đầy bể trong bao nhiêu phút?

a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$:

Vì lưu lượng nước ($x$) và thời gian chảy đầy bể ($y$) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có công thức: $y = \frac{a}{x}$ hay $a = x. y$.

Với $x = 20$ l/phút và $y = 30$ phút, ta có:

$a = 20. 30 = 600$.

b) Nếu lưu lượng nước là 40 l/phút ($x = 40$):

Thời gian chảy đầy bể là:

$y = \frac{600}{40} = 15$ (phút).

Vậy vòi chảy đầy bể trong 15 phút.

Bài 3 (1.0đ): In 40 trang tài liệu hết 20.000 đồng. Hỏi in 250 trang như vậy hết bao nhiêu tiền?

Số tiền in 1 trang tài liệu là: $20.000 : 40 = 500$ (đồng). Số tiền để in 250 trang là: $250. 500 = 125.000$ (đồng). Vậy để in 250 trang  như vậy hết 125.000 đồng.

Giải theo phương pháp tỉ lệ

Vì số tiền in tỉ lệ thuận với số trang in (in càng nhiều trang thì số tiền càng tăng), ta gọi:

$x_1 = 40$ (trang) tương ứng với số tiền $y_1 = 20.000$ (đồng).

$x_2 = 250$ (trang) tương ứng với số tiền cần tìm là $y_2$ (đồng).

Do số trang ($x$) và số tiền ($y$) là hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có tính chất:

$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$

Thay các giá trị vào, ta được:

$\frac{20.000}{40} = \frac{y_2}{250}$

Suy ra:

$y_2 = \frac{20.000 \cdot 250}{40} = 500 \cdot 250 = 125.000 \text{ (đồng)}$

Vậy để in 250 trang  như vậy hết 125.000 đồng.

Ghi chú cho các em: Cách làm này giúp các em làm quen với việc lập luận bằng đại lượng tỉ lệ, rất có ích cho các bài toán nâng cao sau này. Các em lưu ý ghi rõ tên các đại lượng để người chấm dễ theo dõi nhé!

Bài 4 (2.0đ): Cho đa thức sau: $R(x) = 2x^3 + 5x^4 + x^2 - x^3 - 3x^4 + 2026 + 3x^2 - x^3$.

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

b) Tìm bậc của đa thức $R(x)$.

c) Tính giá trị của đa thức $R(x)$ khi $x = -\frac{1}{2}$.

a) Thu gọn và sắp xếp:

$R(x) = 2x^3 + 5x^4 + x^2 - x^3 - 3x^4 + 2026 + 3x^2 - x^3$

$R(x) = (5x^4 - 3x^4) + (2x^3 - x^3 - x^3) + (x^2 + 3x^2) + 2026$

$R(x) = 2x^4 + 4x^2 + 2026$.

b) Bậc của đa thức:

Bậc của đa thức $R(x)$ là 4.

c) Tính giá trị tại $x = -\frac{1}{2}$:

$R(-\frac{1}{2}) = 2. (-\frac{1}{2})^4 + 4. (-\frac{1}{2})^2 + 2026$

$R(-\frac{1}{2}) = 2. \frac{1}{16} + 4. \frac{1}{4} + 2026 = \frac{1}{8} + 1 + 2026 = 2027\frac{1}{8}$ (hoặc $\frac{16217}{8}$).

Bài 5 (1.0đ): Một chiếc hộp chứa 5 quả cầu có kích thước và khối lượng bằng nhau, trong đó có 1 quả màu xanh và 4 quả màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp. Hãy tính xác suất của các biến cố sau:

A: "Quả cầu lấy ra có màu vàng".

B: "Quả cầu lấy ra có màu xanh".

Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên?

Hộp có 5 quả cầu (1 xanh, 4 đỏ).

Vì trong hộp không có quả cầu màu vàng nên biến cố A: "Quả cầu lấy ra màu vàng" là Biến cố không thể.

Trong hộp có 1 quả cầu màu xanh nên có 1 khả năng được chọn. Nên  biến cố B: "Quả cầu lấy ra màu xanh" là Biến cố ngẫu nhiên.

Xác suất:

$P(A) = 0$.

$P(B) = \frac{1}{5} = 0,2$.

Bài 6 (1.5đ): Cho △ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Kẻ DH ⊥ BC tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BA và HD.

a) Chứng minh △ ABD = △ HBD.

b) Chứng minh BD là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) Chứng minh DK = DC và BD ⊥ KC.

a) Chứng minh △ABD = △HBD:

Xét △ABD vuông tại A và △HBD vuông tại H, ta có:

BD là cạnh huyền chung.

$\widehat{ABD} = \widehat{HBD}$ (vì BD là tia phân giác của góc ABC).

Suy ra △ABD = △HBD (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Chứng minh BD là đường trung trực của AH:

Từ △ABD = △HBD(cmt) ⇒  BA = BH và DA = DH (các cặp cạnh tương ứng).

Vì BA = BH ⇒ B nằm trên đường trung trực của AH.

Vì DA = DH ⇒ D nằm trên đường trung trực của AH.

Vậy BD là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) Chứng minh DK = DC và BD ⊥ KC:

Chứng minh DK = DC:

Xét △ADK vuông tại A và △HDC vuông tại H, ta có:

DA = DH (cmt).

$\widehat{ADK} = \widehat{HDC}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra △ADK = △HDC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

⇒ DK = DC (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh BD ⊥ KC:

Xét △BKC, ta có:

CA ⊥ BK tại A (vì △ABC vuông tại A), nên CA là đường cao thứ nhất.

Kẻ DH ⊥ BC tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BA và HD

⇒ KH ⊥ BC tại H, nên KH là đường cao thứ hai.

△BKC có 2 đường cao CA và KH cắt nhau tại D ⇒ D là trực tâm của △BKC.

Do đó đường thẳng xuất phát từ đỉnh B đi qua trực tâm D của △BKC phải vuông góc với cạnh đối diện KC. Nên BD ⊥ KC.