$\textbf{Bài 4.}$ (2,5 điểm $= 1 \times 2 + 0,5$)
Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC} = 44^\circ$ và đường cao $AD$.
a) Tính số đo $\widehat{ABC}$ và chứng minh $\Delta ADB = \Delta ADC$.
b) Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Lấy điểm $S$ thuộc tia đối của tia $EC$ sao cho $E$ là trung điểm của $SC$. Trên cạnh $BE$ lấy điểm $T$ sao cho $BT = \frac{2}{3} BE$.
Tính số đo $\widehat{SDE}$ và chứng minh ba điểm $S, T, D$ thẳng hàng.
c) Chứng minh $SB + SC > AB + AC$.
Lời giải
a) Tính số đo $\widehat{ABC}$ và chứng minh $\Delta ADB = \Delta ADC$ (1 điểm).
$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC} = 44^\circ$ suy ra $AB = AC$ và
$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180^\circ - \widehat{BAC}}{2} = \frac{180^\circ - 44^\circ}{2} = 68^\circ$
$AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $AD \perp BC$ tại $D$.
$\Delta ADB$ vuông tại $D$ và $\Delta ADC$ vuông tại $D$ có $AB = AC$; $AD$ là cạnh chung suy ra $\Delta ADB = \Delta ADC$ (ch-cgv) 
b) Tính số đo $\widehat{SDE}$ và chứng minh ba điểm $S, T, D$ thẳng hàng (1 điểm).
$\Delta ADB = \Delta ADC$ nên $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (hai góc tương ứng) mà tia $AD$ nằm trong $\widehat{BAC}$ nên $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$  suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \frac{1}{2} \widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 44^\circ = 22^\circ$.
$E$ là trung điểm chung của $AD$ và $SC$ nên $ED = EA$ và $ES = EC$.
$\Delta EDS$ và $\Delta EAC$ có $ED = EA$; $\widehat{DES} = \widehat{AEC}$ (hai góc đối đỉnh) và $ES = EC$ suy ra $\Delta EDS = \Delta EAC$ (c.g.c) nên $SD = AC$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{SDE} = \widehat{CAE}$ (hai góc tương ứng). Do đó $\widehat{SDE} = \widehat{CAD} = 22^\circ$.
$\Delta ADB = \Delta ADC$ nên $DB = DC$ (hai cạnh tương ứng) mà $D \in BC$ nên $D$ là trung điểm của $BC$.
$\Delta SBC$ có $BE$ là đường trung tuyến (do $E$ là trung điểm của $SC$) mà $T \in BE$ và $BT = \frac{2}{3} BE$ nên $T$ là trọng tâm (tính chất trọng tâm). Ta lại có $SD$ là đường trung tuyến của $\Delta SBC$ (do $D$ là trung điểm của $BC$) nên $SD$ đi qua trọng tâm $T$ hay $S, T, D$ thẳng hàng 
c) Chứng minh $SB + SC > AB + AC$.
$\widehat{SDE} = \widehat{CAE}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $SD // AC$ suy ra
$\widehat{SDB} = \widehat{ACD}$ (hai góc đồng vị)
$\Delta SDB$ và $\Delta ACD$ có $SD = AC$; $\widehat{SDB} = \widehat{ACD}$ và $DB = DC$ suy ra
$\Delta SDB = \Delta ACD$ (c.g.c) nên $SB = AD$ (hai cạnh tương ứng).
Do $E$ là trung điểm của $SC$ nên $SC = 2EC$
Do $E$ là trung điểm của $AD$ nên $AD = 2EA$
Do $AB = AC$ nên $AB + AC = 2AC$
$\Delta AEC$ có $EA + EC > AC$ (bất đẳng thức tam giác) suy ra $2EA + 2EC > 2AC$
nên $AD + SC > AC + AC$ (do $E$ là trung điểm chung của $AD$ và $SC$).
Do đó $SB + SC > AB + AC$ (do $AD = SB$ và $AC = AB$).