Bài 8. Viết các biểu thức số sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

a) $20^8 \cdot 4^8$

ĐÁP ÁN: $80^8$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho học sinh yếu:
Đầu tiên, các em hãy nhìn kỹ biểu thức. Chúng ta thấy hai số $20^8$ và $4^8$ đều có cùng một số mũ là $8$.
Bây giờ, hãy nhớ lại một quy tắc rất quan trọng về lũy thừa: Khi chúng ta nhân hai lũy thừa có cùng số mũ, ví dụ $a^n \cdot b^n$, thì ta có thể gộp chúng lại bằng cách nhân hai cơ số (số ở dưới) lại với nhau và giữ nguyên số mũ. Tức là: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Áp dụng quy tắc này vào bài toán của chúng ta: cơ số thứ nhất là $20$, cơ số thứ hai là $4$, và số mũ chung là $8$.
Vậy, chúng ta sẽ nhân $20$ với $4$ trước, rồi kết quả đó sẽ mang số mũ $8$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:
$20^8 \cdot 4^8$
$= (20 \cdot 4)^8$
$= 80^8$

b) $(3^2)^2 \cdot \frac{1}{3^5} \cdot 27$

ĐÁP ÁN: $3^2$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho học sinh yếu:
Mục tiêu của chúng ta là biến đổi tất cả các số trong biểu thức về dạng lũy thừa của cùng một cơ số. Ở đây, ta thấy có số $3$, $3^5$, và $27$. Số $27$ có thể viết thành lũy thừa của $3$ ($3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, vậy $27 = 3^3$).
Bước 1: Xử lý $(3^2)^2$. Đây là lũy thừa của một lũy thừa. Quy tắc là $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Tức là giữ nguyên cơ số $3$ và nhân hai số mũ lại với nhau: $2 \cdot 2 = 4$. Vậy $(3^2)^2 = 3^4$.
Bước 2: Xử lý $\frac{1}{3^5}$. Khi một lũy thừa nằm dưới mẫu số, ta có thể đưa nó lên tử số bằng cách đổi dấu số mũ. Quy tắc là $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Vậy $\frac{1}{3^5} = 3^{-5}$.
Bước 3: Xử lý $27$. Như đã nói ở trên, $27 = 3^3$.
Bước 4: Bây giờ, biểu thức của chúng ta đã trở thành $3^4 \cdot 3^{-5} \cdot 3^3$. Tất cả đều có cơ số là $3$.
Nhớ lại quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Tức là giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ lại với nhau.
Thực hiện phép cộng số mũ: $4 + (-5) + 3$.
$4 - 5 = -1$. Sau đó, $-1 + 3 = 2$.
Vậy kết quả cuối cùng là $3^2$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:
$(3^2)^2 \cdot \frac{1}{3^5} \cdot 27$
$= 3^{2 \cdot 2} \cdot 3^{-5} \cdot 3^3$
$= 3^4 \cdot 3^{-5} \cdot 3^3$
$= 3^{4 + (-5) + 3}$
$= 3^{4 - 5 + 3}$
$= 3^{-1 + 3}$
$= 3^2$

c) $7^8 \cdot 9^4 \cdot 21^2$

ĐÁP ÁN: $21^{10}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho học sinh yếu:
Để biến đổi biểu thức này thành lũy thừa của một số hữu tỉ, chúng ta cần phân tích các cơ số phức tạp (như $9$ và $21$) thành các thừa số nguyên tố.
Phân tích $9$: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.
Phân tích $21$: $21 = 3 \cdot 7$.
Bước 1: Thay thế $9$ và $21$ bằng các thừa số nguyên tố của chúng.
$9^4$ sẽ trở thành $(3^2)^4$.
$21^2$ sẽ trở thành $(3 \cdot 7)^2$.
Bước 2: Áp dụng các quy tắc lũy thừa:
Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Vậy $(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$.
Quy tắc lũy thừa của một tích: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Vậy $(3 \cdot 7)^2 = 3^2 \cdot 7^2$.
Bước 3: Bây giờ, toàn bộ biểu thức sẽ là $7^8 \cdot 3^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.
Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số lại với nhau:
Các lũy thừa của $7$: $7^8 \cdot 7^2$.
Các lũy thừa của $3$: $3^8 \cdot 3^2$.
Bước 5: Áp dụng quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$7^8 \cdot 7^2 = 7^{8+2} = 7^{10}$.
$3^8 \cdot 3^2 = 3^{8+2} = 3^{10}$.
Bước 6: Lúc này biểu thức trở thành $7^{10} \cdot 3^{10}$. Chúng ta lại thấy hai lũy thừa có cùng số mũ là $10$.
Áp dụng lại quy tắc: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Vậy, chúng ta nhân hai cơ số $7$ và $3$ lại với nhau và giữ nguyên số mũ $10$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:
$7^8 \cdot 9^4 \cdot 21^2$
$= 7^8 \cdot (3^2)^4 \cdot (3 \cdot 7)^2$
$= 7^8 \cdot 3^{2 \cdot 4} \cdot (3^2 \cdot 7^2)$
$= 7^8 \cdot 3^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2$
$= (7^8 \cdot 7^2) \cdot (3^8 \cdot 3^2)$
$= 7^{8+2} \cdot 3^{8+2}$
$= 7^{10} \cdot 3^{10}$
$= (7 \cdot 3)^{10}$
$= 21^{10}$

d) $27^4 : 25^6 : (\frac{3}{5})^2$

ĐÁP ÁN: $(\frac{3}{5})^{10}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho học sinh yếu:
Giống như các bài trước, mục tiêu là biến đổi tất cả các số về dạng lũy thừa của các thừa số nguyên tố, sau đó cố gắng đưa về cùng một cơ số dạng phân số.
Bước 1: Phân tích các cơ số $27$ và $25$ thành thừa số nguyên tố.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.
Bước 2: Thay thế các cơ số đã phân tích vào biểu thức.
$27^4$ sẽ trở thành $(3^3)^4$.
$25^6$ sẽ trở thành $(5^2)^6$.
Bước 3: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12}$.
$(5^2)^6 = 5^{2 \cdot 6} = 5^{12}$.
Bước 4: Bây giờ, biểu thức của chúng ta là $3^{12} : 5^{12} : (\frac{3}{5})^2$.
Hãy nhìn vào $3^{12} : 5^{12}$. Khi hai lũy thừa có cùng số mũ nhưng khác cơ số chia cho nhau, ta có thể gộp chúng lại. Quy tắc là $a^n : b^n = (a:b)^n = (\frac{a}{b})^n$.
Vậy $3^{12} : 5^{12} = (\frac{3}{5})^{12}$.
Bước 5: Biểu thức lúc này trở thành $(\frac{3}{5})^{12} : (\frac{3}{5})^2$.
Đây là phép chia hai lũy thừa có cùng cơ số (cơ số là $\frac{3}{5}$). Quy tắc là $a^m : a^n = a^{m-n}$. Tức là giữ nguyên cơ số và lấy số mũ trừ đi nhau.
Thực hiện phép trừ số mũ: $12 - 2 = 10$.
* Vậy kết quả cuối cùng là $(\frac{3}{5})^{10}$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:
$27^4 : 25^6 : (\frac{3}{5})^2$
$= (3^3)^4 : (5^2)^6 : (\frac{3}{5})^2$
$= 3^{3 \cdot 4} : 5^{2 \cdot 6} : (\frac{3}{5})^2$
$= 3^{12} : 5^{12} : (\frac{3}{5})^2$
$= (3 : 5)^{12} : (\frac{3}{5})^2$
$= (\frac{3}{5})^{12} : (\frac{3}{5})^2$
$= (\frac{3}{5})^{12-2}$
$= (\frac{3}{5})^{10}$

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!