Hệ thống Bài Giải

Khối 5 Khối 6 Khối 7 Khối 8 Khối 9 Khối 10 Khối 11 Khối 12

TRƯỜNG 218 - Thầy Võ Minh Tú

Bài 45 trang 27

#lũy thừa

Bài 45 trang 27
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $\frac{3^{17} . 81^{11}}{27^{10} . 9^{15}}$

b) $\frac{9^2 . 2^{11}}{16^2 . 6^3}$

c) $\frac{(-0,09)^3 . (0,2)^5}{(0,2)^7 . (-0,3)^4}$

d) $\frac{2^{10} . 3^{31} + 2^{40} . 3^6}{2^{11} . 3^{31} + 2^{41} . 3^6}$

e) $\frac{3^{12} . (-8^4) - 6^{11}}{6^9 . 2^3 . 15 + 9^5 . 4^6}$

f) $\frac{6^8 . 2^2 . 5 + 2^{10} . 3^8}{2 . (-6^9) + 9^4 . 4^5}$

💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải dạng toán phân thức có chứa lũy thừa, các em thực hiện theo 2 bước chính:
- Bước 1: Đưa các cơ số về dạng số nguyên tố (như $2, 3, 5, 7...$) hoặc các cơ số giống nhau.
- Bước 2: Sử dụng các công thức lũy thừa để rút gọn:
1. $x^m . x^n = x^{m+n}$
2. $x^m : x^n = x^{m-n}$
3. $(x^m)^n = x^{m . n}$
4. $(x . y)^n = x^n . y^n$
5. Đặt thừa số chung: $a . b + a . c = a(b+c)$ (áp dụng cho câu d, e, f).

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Câu a: Các em thấy cơ số là $3, 81, 27, 9$. Tất cả đều đưa được về cơ số $3$.
Ta có: $81 = 3^4$; $27 = 3^3$; $9 = 3^2$. Thay vào biểu thức và nhân các số mũ lại với nhau, sau đó cộng/trừ số mũ ở tử và mẫu.

a) $\frac{3^{17} . 81^{11}}{27^{10} . 9^{15}}$=$\frac{3^{17} . (3^4)^{11}}{(3^3)^{10} . (3^2)^{15}} = \frac{3^{17} . 3^{44}}{3^{30} . 3^{30}} = \frac{3^{61}}{3^{60}} = 3^{61-60} = 3^1 = 3$

Câu b: Đưa về cơ số $2$ và $3$.
Ta có: $9 = 3^2$; $16 = 2^4$; $6 = 2 . 3$. Lưu ý: $6^3 = (2 . 3)^3 = 2^3 . 3^3$.

b) $\frac{9^2 . 2^{11}}{16^2 . 6^3}$=$\frac{(3^2)^2 . 2^{11}}{(2^4)^2 . (2 . 3)^3} = \frac{3^4 . 2^{11}}{2^8 . 2^3 . 3^3} = \frac{3^4 . 2^{11}}{2^{11} . 3^3} = 3^{4-3} = 3$

Câu c: Đổi số thập phân.
$-0,09 = -(0,3)^2$. Vậy $(-0,09)^3 = [-(0,3)^2]^3 = -(0,3)^6$.
Dấu âm mũ lẻ vẫn là dấu âm, dấu âm mũ chẵn thành dấu dương: $(-0,3)^4 = (0,3)^4$.

c) $\frac{(-0,09)^3 . (0,2)^5}{(0,2)^7 . (-0,3)^4}$=$\frac{[-(0,3)^2]^3 . (0,2)^5}{(0,2)^7 . (0,3)^4} = \frac{-(0,3)^6 . (0,2)^5}{(0,2)^7 . (0,3)^4} = \frac{-(0,3)^2}{(0,2)^2} = -\left(\frac{0,3}{0,2}\right)^2 = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{9}{4}$

Câu d, e, f: Đây là dạng "tổng ở tử và tổng ở mẫu". Các em không được rút gọn từng số hạng mà phải đặt nhân tử chung ra ngoài trước khi rút gọn.

Cách 1: Ở tử có $2^{10}$ và $2^{40}$, ta đặt $2^{10}$ (số mũ nhỏ nhất) ra ngoài. Tương tự với cơ số 3.
d) $\frac{2^{10} . 3^{31} + 2^{40} . 3^6}{2^{11} . 3^{31} + 2^{41} . 3^6}$=$\frac{2^{10} . 3^{31} + 2^{40} . 3^6}{2^{11} . 3^{31} + 2^{41} . 3^6} = \frac{2^{10} . 3^6 . (3^{25} + 2^{30})}{2^{11} . 3^6 . (3^{25} + 2^{30})} = \frac{2^{10}}{2^{11}} = \frac{1}{2}$
Cách 2: Ta quan sát thấy ở mẫu có độ lệch tương ứng với tử
d) $\frac{2^{10} . 3^{31} + 2^{40} . 3^6}{2^{11} . 3^{31} + 2^{41} . 3^6}$=$\frac{2^{10} . 3^{31} + 2^{40} . 3^6}{2^1 . 2^{10} . 3^{31} + 2^1 . 2^{40} . 3^6} = \frac{(2^{10} . 3^{31} + 2^{40} . 3^6)}{2( 2^{10} . 3^{31} + 2^{40} . 3^6)} = \frac{1}{2}$

e) $\frac{3^{12} . (-8^4) - 6^{11}}{6^9 . 2^3 . 15 + 9^5 . 4^6}$ = $\frac{3^{12} . [-(2^3)^4] - (2 . 3)^{11}}{(2.3)^9 . 2^3 . 3 . 5 + (3^2)^5 . (2^2)^6}$=$\frac{-3^{12} . 2^{12} - 2^{11} . 3^{11} }{2^{12} . 3^{10} . 5 + 3^{10} . 2^{12}}$=$\frac{-2^{11} . 3^{11} (3 . 2 + 1)}{2^{12} . 3^{10}(5+1)}$=$\frac{-2^{11} . 3^{11} . 7}{2^{13} . 3^{11}} = \frac{-7}{2^2} = -\frac{7}{4}$

Các bước chi tiết
Tử thức: $3^{12} . [-(2^3)^4] - (2 . 3)^{11} = -3^{12} . 2^{12} - 2^{11} . 3^{11} = -2^{11} . 3^{11} (3 . 2 + 1) = -2^{11} . 3^{11} . 7$.
Mẫu thức: $(2.3)^9 . 2^3 . 3 . 5 + (3^2)^5 . (2^2)^6 = 2^{12} . 3^{10} . 5 + 3^{10} . 2^{12} = 2^{12} . 3^{10}(5+1) = 2^{12} . 3^{10} . 6 = 2^{13} . 3^{11}$.

f) $\frac{6^8 . 2^2 . 5 + 2^{10} . 3^8}{2 . (-6^9) + 9^4 . 4^5}$=$\frac{(2 . 3)^8 . 2^2 . 5 + 2^{10} . 3^8 }{-2 . (2 . 3)^9 + (3^2)^4 . (2^2)^5}$=$\frac{2^8 . 3^8 . 2^2 . 5 + 2^{10} . 3^8 }{-2 . 2^9 . 3^9 + 3^8 . 2^{10}}$=$\frac{2^{10} . 3^8 . 5 + 2^{10} . 3^8 }{-2^{10} . 3^9 + 3^8 . 2^{10}}$=$\frac{2^{10} . 3^8(5+1)}{2^{10} . 3^8 (-3 + 1)}$=$\frac{2^{10} . 3^8 . 6}{2^{10} . 3^8 .(-2)}$=$\frac{2^{11} . 3^{9}}{-2^{11} . 3^8} = \frac{3}{-1} = -3$

Tử thức: $(2 . 3)^8 . 2^2 . 5 + 2^{10} . 3^8 = 2^{10} . 3^8 . 5 + 2^{10} . 3^8 = 2^{10} . 3^8(5+1) = 2^{10} . 3^8 . 6 = 2^{11} . 3^9$.
Mẫu thức: $-2 . (2 . 3)^9 + (3^2)^4 . (2^2)^5 = -2^{10} . 3^9 + 3^8 . 2^{10} = 2^{10} . 3^8 (-3 + 1) = -2 . 2^{10} . 3^8 = -2^{11} . 3^8$.

⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1. Rút gọn sai nguyên tắc: Ở câu d, nhiều bạn thấy $2^{10}$ ở trên và $2^{11}$ ở dưới là gạch luôn trong khi chúng đang nằm trong phép cộng. Nhớ: Chỉ được rút gọn khi tử và mẫu đã chuyển về phép nhân.
2. Sai dấu: $(-8^4)$ khác với $(-8)^4$.
$(-8^4)$ là số âm, còn $(-8)^4$ là số dương. Ở câu e, $3^{12} . (-8^4)$ mang dấu âm.
3. Quên đóng ngoặc: Khi viết $(2 . 3)^3$ nếu viết thành $2 . 3^3$ là sai hoàn toàn.

🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Đề bài: Tính giá trị biểu thức: $A = \frac{4^6 . 9^5 + 6^9 . 120}{8^4 . 3^{12} - 6^{11}}$

Hướng dẫn: Đưa về cơ số $2$ và $3$, sau đó đặt nhân tử chung.
Đáp số: $A = \frac{4}{5}$.

Chúc các em học tốt và đạt điểm cao!