Câu 19. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC.

a) Chứng minh: △ABM = △ACM.

b) Từ điểm M kẻ ME vuông góc với AB (E∈ AB) và vẽ đường thẳng MF vuông góc với AC (F∈ AC). Chứng minh △MEB = △MFC và $\widehat{BME}=\widehat{CMF}$

c) Trên tia đối của ME lấy điểm H (HM<ME), trên tia đối của tia MF lấy điểm K sao cho MH = MK. Gọi I là giao điểm của CH và BK. Chứng minh A, M, I thẳng hàng.

a) Chứng minh: △ABM = △ACM

Xét rABM và rACM ta có:

AB = AC (rABC cân tại A)

AM là cạnh chung

BM = CM (do M là trung điểm của BC)

Suy ra rABM = rACM (c.c.c)

b) Chứng minh △MEB = △MFC và $\widehat{BME}=\widehat{CMF}$

Xét △MEB vuông tại E và △MFC vuông tại F, ta có:

BM = CM (cmt)

$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$(rABC cân tại A)

Suy ra △MEB = △MFC (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ $\widehat{BME}=\widehat{CMF}$(2 góc tương ứng)

c) Chứng minh A, M, I thẳng hàng.

Ta có

$\widehat{BMK}=\widehat{CMF}$(2 góc đối đỉnh) và $\widehat{CMH}=\widehat{BME}$(2 góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{BME}=\widehat{CMF}$(cmt) suy ra $\widehat{BMK}=\widehat{CMH}$

Xét rBMK và rCMH ta có:

BM = CM (cmt)

$\widehat{BMK}=\widehat{CMH}$(cmt)

MK = MH (gt)

Suy ra rBMK = rCMH (c.g.c) ⇒ $\widehat{MBK}=\widehat{MCH}$(2 góc tương ứng)

△BIC có $\widehat{MBK}=\widehat{MCH}$(cmt) ⇒ △ BIC cân tại I nên IB =IC ⇒ I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

AB = AC (cmt) ⇒ A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC mà M là trung điểm BC nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC. Suy ra 3 điểm  A, M, I thẳng hàng