Bài toán này thuộc chương Số hữu tỉ (phần Lũy thừa của một số hữu tỉ) trong chương trình Toán 7. Đây là một dạng toán rất hay, đòi hỏi chúng ta phải có sự quan sát tinh tế để đưa những con số "lạ" về những con số "quen thuộc" mà đề bài đã cho.

Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể để các em nắm vững bài này nhé!
 💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải bài toán này, các em cần nắm vững hai kiến thức trọng tâm sau:
1. Lũy thừa của một tích: $\displaystyle (a . b)^n = a^n . b^n$.
Ví dụ: $\displaystyle 4^2 = (2 . 2)^2 = 2^2 . 2^2$.
2. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $\displaystyle a . b + a . c = a . (b + c)$.
Chúng ta sẽ dùng tính chất này để đặt "thừa số chung" ra ngoài.

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Câu a) Tính $\displaystyle S = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 20^2$
Bước 1 (Quan sát): Các số $\displaystyle 2, 4, 6, \dots, 20$ đều là các số chẵn, tức là chúng đều chia hết cho $\displaystyle 2$.
Bước 2 (Biến đổi): Ta viết mỗi số dưới dạng tích của $\displaystyle 2$ với một số khác:
$\displaystyle 2 = 2 . 1 \implies 2^2 = (2 . 1)^2 = 2^2 . 1^2$
$\displaystyle 4 = 2 . 2 \implies 4^2 = (2 . 2)^2 = 2^2 . 2^2$
$\displaystyle 6 = 2 . 3 \implies 6^2 = (2 . 3)^2 = 2^2 . 3^2$
...
$\displaystyle 20 = 2 . 10 \implies 20^2 = (2 . 10)^2 = 2^2 . 10^2$
Bước 3 (Thay thế): Lúc này tổng $\displaystyle S$ trở thành:
$\displaystyle S = 2^2 . 1^2 + 2^2 . 2^2 + 2^2 . 3^2 + \dots + 2^2 . 10^2$
Bước 4 (Đặt nhân tử chung): Các em thấy số $\displaystyle 2^2$ xuất hiện ở tất cả các số hạng, ta đặt $\displaystyle 2^2$ ra ngoài làm thừa số chung:
$\displaystyle S = 2^2 . (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2)$
Bước 5 (Tính toán): Đề bài đã cho cụm trong ngoặc bằng $\displaystyle 385$. Vậy ta chỉ cần nhân: $\displaystyle S = 4 . 385$.
Câu b) Tính $\displaystyle T = (0,2)^2 + (0,4)^2 + (0,6)^2 + \dots + 2^2$
Bước 1 (Quan sát): Các số $\displaystyle 0,2; 0,4; 0,6...$ đều chia hết cho $\displaystyle 0,2$. Đặc biệt số cuối cùng $\displaystyle 2 = 0,2 . 10$.
Bước 2 (Biến đổi): Tương tự câu a, ta rút $\displaystyle (0,2)^2$ ra:
$\displaystyle (0,2)^2 = (0,2 . 1)^2 = (0,2)^2 . 1^2$
$\displaystyle (0,4)^2 = (0,2 . 2)^2 = (0,2)^2 . 2^2$
...
$\displaystyle 2^2 = (0,2 . 10)^2 = (0,2)^2 . 10^2$
Bước 3 (Tính toán): $\displaystyle T = (0,2)^2 . (1^2 + 2^2 + \dots + 10^2) = 0,04 . 385$.
 
 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1. Quên bình phương thừa số chung: Rất nhiều bạn khi đặt thừa số chung chỉ đưa $\displaystyle 2$ ra ngoài mà quên đó là $\displaystyle 2^2$.
Sai:* $\displaystyle S = 2 . (1^2 + 2^2 + \dots) \to$ Đây là lỗi nặng nhất.
2. Nhầm lẫn ở câu b: Ở số hạng cuối cùng là $\displaystyle 2^2$, nhiều bạn không nhận ra $\displaystyle 2 = 0,2 . 10$ nên lúng túng không biết tổng đó kết thúc ở đâu.
3. Tính toán sai: Khi nhân $\displaystyle 0,04 . 385$, các bạn hay đặt dấu phẩy sai vị trí. Hãy cẩn thận nhé!

🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Đề bài: Cho biết $\displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2 = 385$. Tính giá trị biểu thức:
$\displaystyle A = 3^2 + 6^2 + 9^2 + \dots + 30^2$

Đáp số gợi ý:
$\displaystyle A = 3^2 . (1^2 + 2^2 + \dots + 10^2) = 9 . 385 = 3465$.

Chúc các em học tốt và luôn tự tin với môn Toán!