HK2 hình học nâng cao
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), trên tía đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK=BD; DK cắt BC tại I, Kẻ DP vuông góc với BC tại P và KQ vuông góc với BC tại Q
a) Chứng minh rằng: △BDP=△CKQ và I là trung điểm DK
b) Đường vuông góc với DK tại I cất AM tại S. Tình 
?
c) Đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh MD+ME ³ AD+ AE.
a) Chứng minh rằng: △BDP=△CKQ và I là trung điểm DK
△ABC vuông cân tại A Þ 
và AB = AC mà 
(2 góc đối đỉnh)
Þ 
Xét △BDP vuông tại P và △CKQ vuông tại Q, ta có
BD = CK (gt) ; 
(cmt)
Vậy △BDP=△CKQ (cạnh huyền – góc nhọn)
Þ DP = KQ (2 cạnh tương ứng)
Ta có DP ^ BC, KQ ^ BC suy ra DP // KQ
Þ 
(2 góc soletrong)
Xét △PDI vuông tại P và △QKI vuông tại Q, ta có
DP = KQ (cmt) ; 
(cmt)
Vậy △PDI=△QKI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Þ DI = IK (2 cạnh tương ứng) mà I Î DK Þ I là trung điểm DK
b) Tình 
?
Ta có I là trung điểm DK (cmt), mà DK ^ IS tại I Þ IS là đường trung trực của DK Þ SD = SK
Ta có AB = AC (cmt) Þ A nằm trêm đường trung trực của BC mà M là trung điểm BC
Þ AM là đường trung trực của BC, S Î AM Þ SB = SC
Xét △SBD và △SCK, ta có SB = SC (cmt) ; SD = SK (cmt) ; BD = CK (gt)
Vậy △SBD = △SCK (c-c-c) Þ 
(1)(2 góc tương ứng)
Xét △SBA và △SCA, ta có SB = SC (cmt) ; AB = AC (cmt) ; AS là cạnh cung
Vậy △SBA = △SCA (c-c-c) Þ 
(2 góc tương ứng) kết hợp (1) ta được
mà 
(2 góc kề bù) Þ 
c) Chứng minh MD + ME ³ AD + AE
AM là đường trung trực của BC nên AM ^ BC tại M mà 
Suy ra △ABM và △ACM cùng vuông cân tại M Þ 
Và AM = BM = CM
( do DM ^ ME tại M)
(do AM là đường trung trực của BC nên AM ^ BC tại M)
Suy ra 
Xét △EMC và △DMA, ta có 
(cmt) ; MC = MA (cmt) ; 
(cmt)
Vậy △EMC = △DMA (g-c-g) Þ CE = AD và ME = MD (các cặp cạnh tương ứng)
Þ AD + AE = CE + AE = AC (2)
Kẻ MH ^ AC tại H, mà 
Þ △AHM và △CHM cùng vuông cân tại H Þ HM = HA = HC do đó AC = HA + HC = 2MH (3)
Ta có ME ³ MH (quan hệ đường vuông góc, đường xiên)
Þ 2ME ³ 2MH = AC (kết hợp (3)) Þ MD + ME ³ AC ( do ME = MD) (4)
Từ (2) và (4) suy ra MD + ME ³ AD + AE