Câu 35: Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a. AD = BC(HD: Chứng minh triangle OAD = triangle OCB)

b. EAB = ECD (HD: Trường hợp g.c.g)

c. OE là tia phân giác của góc xOy. (HD: Chứng OAE = OCE suy ra overline EOA = overline EOC )

Câu 36: Cho DEF có $\widehat{E}=100^{o},\widehat{D}=40^{o}$

a. Tìm cạnh lớn nhất của tam giác DEF.

b. Tam giác DEF là tam giác gì? Vì sao?

c. Lấy điểm K thuộc cạnh DE và điểm H thuộc cạnh EF, sao cho EK = EH. Chứng minh: EKF = EHD

Hướng dẫn

Kiến thức: Tổng 3 góc trong một tam giác bằng $180^{{}^\circ }$. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất.

Cách vẽ: Vẽ đoạn thẳng ED, dùng thước đo độ dựng tia Ex sao cho góc E bằng 1000. Dùng compa (hoặc thước) đánh dấu điểm F trên cạnh Ex sao cho ED = EF là được, do 100 + 40 + 40 =180 nên nó là tam giác cân. Nếu trường hợp góc D khác 40o thì mình đo góc D cho cắt Ex là được.

a. Tìm cạnh lớn nhất của tam giác DEF.

Xét DEF, ta có: $\widehat{E}+\widehat{D}+\widehat{F}=180^{o}$(tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra $\hat{F}=180^{{}^\circ }-(\hat{D}+\hat{E})=180^{{}^\circ }-(40^{{}^\circ }+100^{{}^\circ })=40^{{}^\circ }$.

Ta có: $\hat{E}=100^{{}^\circ }$ là góc lớn nhất (vì $100^{{}^\circ }>40^{{}^\circ }$).

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với $\hat{E}$ là cạnh DF. Vậy DF là cạnh lớn nhất.

b. Tam giác DEF là tam giác gì? Vì sao?

DEF có $\widehat{D}=\widehat{F}=40^{o}$ DEF cân tại E.

c. Chứng minh: EKF = EHD

Xét EKF và EHD, ta có:

EK = EH (gt)

$\hat{E}$ là góc chung

EF = ED (do DEF cân tại E)

Suy ra EKF = EHD (c.g.c)

Câu 37: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

a. Chứng minh rằng : ABF = ACE

b. Chứng minh rằng AEF cân.

c. Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng IBC và IEF là những tam giác cân.

d. Chứng minh: EF// BC

a. Chứng minh rằng : ABF = ACE

ABC cân tại $A\Rightarrow AB=AC$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

BF và CE lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:

$\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\tfrac{1}{2}\widehat{ABC}=\tfrac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{ACE}=\widehat{ECB}$

Xét ABF và ACE, ta có:

$\widehat{A}$ là góc chung.

AB = AC (cmt)

$\widehat{ABF}=\widehat{ACE}$(cmt)

Suy ra ABF = ACE (g.c.g)

b. Chứng minh rằng AEF cân

Ta có ABF = ACE (cmt) suy ra AF = AE (2 cạnh tương ứng)

AEF có AF = AE suy ra AEF cân tại A.

c. Chứng minh rằng IBC và IEF là những tam giác cân

IBC có $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$(cmt) suy ra IBC cân tại I.

IBC cân tại I IB = IC

ABF = ACE (cmt) suy ra BF = CE (2 cạnh tương ứng)

Ta có: $IF=BF-IB=CE-IC=IE$

IEF có IF = IE(cmt) suy ra IEF cân tại I.

d. Chứng minh: EF// BC

AEF cân tại A nên $\widehat{AEF}=\dfrac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

Suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

Vậy EF // BC

$\dfrac{2x+3}{3}=\dfrac{3y+4}{2}$ và 2x + 3y = 8

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{2x+3}{3}=\dfrac{3y+4}{2}=\dfrac{(2x+3)+(3y+4)}{3+2}=\dfrac{2x+3y+7}{5}=\dfrac{8+7}{5}=\dfrac{15}{5}=3$

Do đó:

$\dfrac{2x+3}{3}=3\Rightarrow 2x+3=9\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$

$\dfrac{3y+4}{2}=3\Rightarrow 3y+4=6\Rightarrow 3y=2\Rightarrow y=\dfrac{2}{3}$

Vậy $x=3;y=\dfrac{2}{3}$

Lập các tỉ lệ thức có thể từ các đẳng thức sau: $1\dfrac{1}{2}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{9}$

Ta có: $\dfrac{3}{2}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{9}$

Lập được các tỉ lệ thức: $\dfrac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{9}};\dfrac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{4}}=\dfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{9}};\dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{2}};\dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{1}{4}}=\dfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{3}{2}}$