Cho △ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.

a) Chứng minh △AMB = △AMC và AM ⊥ BC.

b) Hai đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G. Chứng minh △AFE cân và EF // BC.

c) Chứng minh $GC>\tfrac{1}{2}BC$ và $BE+CF>\tfrac{3}{2}BC$.

a) Chứng minh △AMB = △AMC và AM ⊥ BC

△ABC có AM là đường trung tuyến ⇒ M là trung điểm BC

Xét △AMB và △AMC, ta có:

AB = AC (△ABC cân tại A).

BM = MC (M là trung điểm BC).

AM là cạnh chung.

Suy ra △AMB = △AMC(c.c.c).

Do AB = AC (cmt) Þ A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC
mà M là trung điểm BC (cmt)  Suy ra AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC Þ AM ^ BC tại M

b) Chứng minh △AFE cân và EF // BC

Vì △ABC có BE, CF là trung tuyến nên E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB mà AC = AB (cmt) nên ta có: $\text{AF}=FB=\tfrac{1}{2}AB=\tfrac{1}{2}AC=AE=EC$

△AFE có AF = AE(cmt) nên △AFE cân tại A

△AFE cân tại A nên $\widehat{AFE}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{A}}{2}$

△ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{A}}{2}$

Suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$ mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên EF // BC

c) Chứng minh $GC>\tfrac{1}{2}BC$ và $BE+CF>\tfrac{3}{2}BC$.

Xét △GMC vuông tại M, cạnh huyền GC là cạnh lớn nhất nên GC > MC

Mà $MC=\tfrac{1}{2}BC$(Do M là trung điểm BC) nên $GC>\tfrac{1}{2}BC$.

△ABC có các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G Þ G là trọng tâm của △ABC

Nên $BE=\tfrac{3}{2}BG$ và $CF=\tfrac{3}{2}CG$ (tính chất trọng tâm)

Suy ra $BE+CF=\tfrac{3}{2}BG+\tfrac{3}{2}CG=\tfrac{3}{2}(BG+CG)$

Xét △BGC có BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác)

Do đó: $BE+CF=\tfrac{3}{2}(BG+CG)>\tfrac{3}{2}BC$

Vậy $BE+CF>\tfrac{3}{2}BC$