1) Tìm số nguyên $x$ để tích hai phân số $\frac{6}{x+1}$ và $\frac{x-1}{3}$ là một số nguyên.

Hướng dẫn tách tử số theo mẫu số: Bài này quan trọng nhất là các em phải biết tách tử số theo mẫu số

Cách 1: Ép nhân tử (Thêm bớt)

Ta muốn trên tử xuất hiện lượng $(x + 1)$ để triệt tiêu với mẫu. Do trên tử đang có $2x$, ta phải viết thành $2(x + 1)$.

Mà $2(x + 1) = 2x + 2$.

Để giữ nguyên giá trị ban đầu là $2x - 2$, ta phải trừ đi 4 (vì $2 - 4 = -2$).

$$\frac{2x - 2}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 4}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} = 2 - \frac{4}{x + 1}$$

Cách 2: Thực hiện phép chia đa thức (Bản chất phép chia có dư)

Lấy tử chia mẫu như chia số tự nhiên: $(2x - 2) : (x + 1)$ được thương là $2$ và dư $-4$.

$$\text{Phân số} = \text{Thương} + \frac{\text{Số dư}}{\text{Mẫu}} = 2 + \frac{-4}{x + 1} = 2 - \frac{4}{x + 1}$$

Lời giải:

Vì mẫu số phải khác $0$, nên cần có: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Đặt $A = \frac{6}{x+1} \cdot \frac{x-1}{3} = \frac{2}{x+1} \cdot \frac{x-1}{1} = \frac{2(x-1)}{x+1} = \frac{2x-2}{x+1} = \frac{2(x+1)-4}{x+1} = 2 - \frac{4}{x+1}$
Để $A$ nhận giá trị nguyên thì $2 - \frac{4}{x+1} \in \mathbb{Z}$ mà $2 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{4}{x+1} \in \mathbb{Z}$
Do đó $x+1$ là $Ư(4) = \{-1; 1; -2; 2; -4; 4\}$
Bảng giá trị:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x+1 & -1 & 1 & -2 & 2 & -4 & 4 \\
\hline x & -2 & 0 & -3 & 1 & -5 & 3 \\ \hline \end{array}$
Các giá trị x đề thỏa mãn $ x \neq -1$.
Vậy tập hợp số nguyên $x \in \{-2; 0; -3; 1; -5; 3\}$