Bài 6: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($\widehat{A} < 90^\circ$ nhọn). Vẽ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ ($H \in BC$).

a) Chứng minh $\triangle AHB = \triangle AHC$.

b) Gọi $M$ là trung điểm $CH$. Từ $M$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $D$.

Chứng minh $\triangle DMC = \triangle DMH$.

c) $BD$ cắt $AH$ tại $G$. Chứng minh $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ và $BG = 2DG$.

a) Chứng minh $\triangle AHB = \triangle AHC$

Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$ và $\triangle AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$)

$AH$ là cạnh chung

Suy ra $\triangle AHB = \triangle AHC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

b) Chứng minh $\triangle DMC = \triangle DMH$

Xét $\triangle DMC$ vuông tại $M$ và $\triangle DMH$ vuông tại $M$, ta có:

$MH = MC$ (do $M$ là trung điểm $CH$)

$MD$ là cạnh chung

Suy ra $\triangle DMC = \triangle DMH$ (2 cạnh góc vuông)

c) Chứng minh $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ và $BG = 2DG$

$\triangle AHB = \triangle AHC$ (cmt) $\Rightarrow BH = CH$ (2 cạnh tương ứng) mà $H \in BC$ nên $H$ là trung điểm $BC$

$\triangle DMC = \triangle DMH$ (cmt) $\Rightarrow DC = DH$ (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{MCD} = \widehat{MHD}$ (2 góc tương ứng)

$\triangle AHD$ vuông tại $H$

nên $\widehat{HAD} + \widehat{HCA} = 90^\circ$

và $\widehat{DHA} + \widehat{MHD} =\widehat{AHC}= 90^\circ$

Mà $\widehat{MCD} = \widehat{MHD}$ (cmt) $\Rightarrow \widehat{DAH} = \widehat{DHA}$

$\triangle ADH$ có $\widehat{DAH} = \widehat{DHA}$ (cmt) $\Rightarrow \triangle ADH$ cân tại $D$ $\Rightarrow DA = DH$ mà $DC = DH$ (cmt) $\Rightarrow DA = DC$ mà $D \in AC$ $\Rightarrow D$ là trung điểm $AC$

$\triangle ABC$ có trung tuyến $BD$ (do $D$ là trung điểm $AC$) và trung tuyến $AH$ (do $H$ là trung điểm $BC$) cắt nhau tại $G$ $\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$ $\Rightarrow BG = 2DG$ (tính chất trọng tâm)