Bài 6: Cho △ABC vuông tại A (AB < BC). Gọi BD là tia phân giác góc ABC. Vẽ DE vuông góc với BC tại E (E thuộc BC).

a) Chứng minh △ABD = △EBD.

b) Hai đường thẳng AB và DE cắt nhau tại F. Chứng minh AF = EC.

c) Kẻ đường cao AH của △ABC. Gọi G là giao điểm của AH và BD, I là giao điểm của AE và BD.

Chứng minh $\widehat{EGD}\text{ }=\text{ }\widehat{ADG}$

 a) Chứng minh △ABD = △EBD.

Xét rABD vuông tại A và rEBD vuông tại E, ta có:

BD là cạnh huyền chung

$\widehat{ABD}\text{ }=\text{ }\widehat{EBD}$(do BD là tia phân giác góc ABC)

Suy ra rABD = rEBD (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Chứng minh AF = EC

Xét rADF vuông tại A và rEDC vuông tại E, ta có:

AD = ED (2 cạnh tương ứng của rABD = rEBD )

$\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra rADF = rEDC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Þ AF = EC (2 cạnh tương ứng)

c) Chứng minh $\widehat{EGD}\text{ }=\text{ }\widehat{ADG}$

Ta có: rABD = rEBD (cmt) ⇒ BA = BE (2 cạnh tương ứng) ⇒ B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AE.

AD = ED (cmt) ⇒ D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE, do đó BD ⊥ AE tại I

△ ABE có đường cao BI (do BD ⊥ AE tại I) và đường cao AH cắt nhau tại G ⇒ G là trực tâm của △ABE

Suy ra EG ⊥ AB mà CA ⊥ AB nên EG // AC ⇒ $\widehat{EGD}\text{ }=\text{ }\widehat{ADG}$(2 góc soletrong)