Bài 29. Cho tam giác DEF. Vẽ trung tuyến EM. Trên tia EM lấy hai điểm G và N sao cho và M là trung điểm của GN. Gọi P là trung điểm của NF, GP cắt MF tại O. Chứng minh rằng:

a) O là trọng tâm của tam giác NGF.

b) Lấy 1 thuộc đoạn GF sao cho . Chứng minh rằng 3 điểm E,I,P thẳng hàng.

c)

a) Chứng minh O là trọng tâm của tam giác NGF

rNGF có trung tuyến FM (M là trung điểm của GN) và trung tuyến GP (P là trung điểm của NF) cắt nhau tại O ÞO là trọng tâm của rNGF

b) Chứng minh rằng 3 điểm E,I,P thẳng hàng

rDEF có trung tuyến EM, G Î EM và Þ G là trọng tâm của rDEF

Suy ra (tính chất trọng tâm) (1)

Trên tia EM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của GN Þ GM = MN và GN = 2GM kết hợp với (1) ta được mà suy ra GN = EG mà G Î EN Þ G là trung điểm của EN

rEFN có trung tuyến FG (do G là trung điểm của EN), I Î GF và Þ I là trọng tâm của rEFN mà EP là đường trung tuyến (P là trung điểm của NF) nên EP đi qua trọng tâm I của rEFN suy ra ba điểm E, I, P thẳng hàng.

 c)Chứng minh 

Ta có: G là trọng tâm của rDEF, cho DG cắt EF tại H Þ DH là trung tuyến

suy ra H là trung điểm EF Þ EH = FH và

Xét rMGD và rMNF, ta có:

GM = NM (M là trung điểm của GN)

(2 góc đối đỉnh)

DM = MF (EM là trung tuyến nên M là trung điểm DF)

Suy ra rMGD = rMNF (c.g.c) Þ DG = FN (2 cạnh tương ứng) và (2 góc tương ứng)

r DEF có DH là trung tuyến, G là trọng tâm nên DG = 2 GH (tính chất trọng tâm) (2)

P là trung điểm của NF Þ FN = 2NP kết hợp với (2) và DG = FN(cmt) Þ GH = NP

(2 góc đối đỉnh) mà (cmt) Þ

Xét rEGH và rGNP, ta có:

EG = GN (cmt)

 (cmt)

GH = NP (cmt)

Suy ra rEGH = rGNP (c.g.c) Þ EH = GP

Mà O là trọng tâm của rNGF(cmt) nên (tính chất trọng tâm)

Do đó: mà Þ