Bài 5: Cho △ ABC vuông tại A (AB < AC), tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt AC tại D. Từ D kẻ DH ⊥ BC tại H.

a) Chứng minh: △ ABD = △ HBD.

b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại K, đường thẳng này cắt BD tại I. Chứng minh: △ AID cân và ID < 2AI.

c) Lấy điểm M thuộc đoạn DC sao cho DM = AI. Tính số đo $\widehat{AHM}$?

a) Chứng minh △ ABD = △ HBD

Xét △ ABD vuông tại A và △ HBD vuông tại H, ta có:

BD là cạnh huyền chung.

$\widehat{ABD}=\widehat{HBD}$ (vì BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$).

Suy ra △ ABD = △ HBD (cạnh huyền – góc nhọn).

⇒ AB = HB và AD = HD (các cặp cạnh tương ứng).

b) Chứng minh △ AID cân và ID < 2AI

Vì AK ⊥ BC và DH ⊥ BC ⇒ AK // DH (cùng vuông góc với BC).

Do AK //DH  ⇒ $\widehat{AID}=\widehat{IDH}$ (2 góc so le trong)

Mà $\widehat{ADI}=\widehat{IDH}$ (2 góc tương ứng của △ ABD = △ HBD)

Suy ra $\widehat{AID}=\widehat{ADI}$

△AID có $\widehat{AID}=\widehat{ADI}$ nên △AID cân tại A.

Trong △ AID ta có  ID < AI + AD (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà AI = AD (do △AID cân tại A (cmt))

Nên ta có  ID < AI + AI  ⇒  ID < 2AI.

c) Tính số đo $\widehat{AHM}$

Cách 1 (Sử dụng tổng các góc trong tam giác):

Ta có AD = HD (cmt); AI = AD (cmt) và DM = AI (gt) ⇒  AI = AD = HD = DM.

Xét △ ADH có AD = HD(cmt) ⇒ △ ADH cân tại D nên $\widehat{DAH}=\widehat{AHD}$.

Xét △ DHM có HD = DM(cmt) ⇒ △ DHM cân tại D nên $\widehat{DHM}=\widehat{DMH}$.

Xét △AHM có $\widehat{DAH}+\widehat{AHM}+\widehat{DMH}=180^{{}^\circ }$ (Tổng 3 góc tam giác)

Mà $\widehat{AHM}=\widehat{AHD}+\widehat{DHM};\widehat{DAH}=\widehat{AHD};\widehat{DHM}=\widehat{DMH}$

Thay vào ta được: $\widehat{AHD}+\widehat{AHD}+\widehat{DHM}+\widehat{DHM}=180^{{}^\circ }$

Suy ra $2\widehat{AHD}+2\widehat{DHM}=180^{{}^\circ }$

⇒ $2(\widehat{AHD}+\widehat{DHM})=180^{{}^\circ }$ ⇒ $\widehat{AHD}+\widehat{DHM}=180^{{}^\circ }:2=90^{{}^\circ }$

Vậy $\widehat{AHM}=90^{{}^\circ }$.

 Cách 2 (Sử dụng góc kề bù và góc ở đáy tam giác cân):

Ta có AD = HD (cmt); AI = AD (cmt) và DM = AI (gt) ⇒  AI = AD = HD = DM.

Xét △ ADH có AD = HD(cmt) ⇒ △ ADH cân tại D nên $\widehat{ADH}=180^{{}^\circ }-2\widehat{DHA}$.

Xét △DHM có HD = DM(cmt) ⇒ △DHM cân tại D nên $\widehat{HDM}=180^{{}^\circ }-2\widehat{DHM}$.

Ta có $\widehat{ADH}+\widehat{HDM}=180^{{}^\circ }$ (2 góc kề bù),

Suy ra $(180^{{}^\circ }-2\widehat{DHA})+(180^{{}^\circ }-2\widehat{DHM})=180^{{}^\circ }$

⇒ $2\widehat{DHA}+2\widehat{DHM}=180^{{}^\circ }$

⇒ $2(\widehat{DHA}+\widehat{DHM})=180^{{}^\circ }$

⇒ $\widehat{DHA}+\widehat{DHM}=180^{{}^\circ }:2=90^{{}^\circ }$

Vì $\widehat{AHM}=\widehat{DHA}+\widehat{DHM}$.

Vậy $\widehat{AHM}=90^{{}^\circ }$.