Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

$\dfrac{2a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+2b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+2c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+2d}{d}$

TÝnh $M=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{d+a}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}$

Lời giải :

Từ $\dfrac{2a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+2b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+2c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+2d}{d}$

Cùng trừ các vế cho 1, ta được: 

$\dfrac{2a+b+c+d}{a}-1=\dfrac{a+2b+c+d}{b}-1=\dfrac{a+b+2c+d}{c}-1=\dfrac{a+b+c+2d}{d}-1$

$\Rightarrow $$\dfrac{a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+d}{d}$

Chia 2 trường hợp

Nếu a + b + c + d = 0 $\Rightarrow $ a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)

$\Rightarrow $ $M=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{d+a}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}$

M= (- 1) + (-1) + (-1) + (-1)   = - 4

Nếu a + b + c + d $\ne $0  

Vì các tử số bằng nhau và khác $0$, ta có thể chia cả 4 vế cho $(a + b + c + d)$:

$$\Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{d} \implies a = b = c = d$$

Thay $a = b = c = d$ vào biểu thức $M$:

$M = \frac{a + a}{a + a} + \frac{a + a}{a + a} + \frac{a + a}{a + a} + \frac{a + a}{a + a}$

$M = \frac{2a}{2a} + \frac{2a}{2a} + \frac{2a}{2a} + \frac{2a}{2a} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

Vậy M = 4 hoặc M = - 4