Bài 5. Cho ∆ABC có ba góc đều là góc nhọn. Kẻ AM là đường trung tuyến của ABC

(M ∈ BC). Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AD.

a) Chứng minh AMB = DMC. Từ đó chứng minh AB // DC.

b) Gọi N là trung điểm của cạnh AC, AM cất BN tại G. Trên tia GM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của GK. Chứng minh G là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) Gọi I là giao điểm của CG và KN. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng KC. Chứng minh ba điểm A, I, H thẳng hàng.

a) Chứng minh △​​​​​​​AMB = △​​​​​​​DMC, AB // DC

AM là đường trung tuyến của ABC (MBC) M là trung điểm của BC MB=MC

Xét △AMB và △DMC, ta có

MB = MC (cmt)

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$( 2 góc đối đỉnh)

AM = DM (M là trung điểm của đoạn thẳng AD)

Vậy △AMB = △DMC (c-g-c)

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$(2 góc tương ứng), mà 2 góc này nằm ở vị trí soletrong $\Rightarrow$ AB // DC

b) Chứng minh G là trung điểm AK

△ABC có 2 trung tuyến AM và BN (N là trung điểm của cạnh AC) cắt nhau tại G $\Rightarrow$  G là trọng tâm của △ABC $\Rightarrow$ $GM=\dfrac{1}{2}GA$  $\Rightarrow$ $GA=2GM$(tính chất trọng tâm) (1)

Trên tia GM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của GK $\Rightarrow$ GM = MK và GK = 2GM kết hợp với (1) ta có GA = GK (=2GM) và A,G,K cùng nằm trên tia AM $\Rightarrow$ G là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) Chứng minh ba điểm A, I, H thẳng hàng

△AKC có trung tuyến KN(N là trung điểm của cạnh AC) và trung tuyến CG (G là trung điểm của đoạn thẳng AK) cắt nhau tại I $\Rightarrow$  I là trọng tâm của △​​​​​​​AKC, mà AH là đường trung tuyến (H là trung điểm của đoạn thẳng KC) nên AH đi qua trọng tâm I của △​​​​​​​AKC hay ba điểm A, I, H thẳng hàng.

SƠ ĐỒ TỔNG QUÁT

PHẦN HÌNH HỌC

Vẽ hình rõ ràng, nên vẽ nháp để hình dung không gian của hình

DẠNG 1: Chứng minh 2 tam giác bằng nhau

Nhớ phải xét 2 tam giác, nên theo góc tương ứng

 Xác định các cặp cạnh bằng nhau (dựa vào trung điểm, đường trung tuyến,...)

 Tìm góc bằng nhau (góc đối đỉnh, góc tạo bởi đường cao, đường phân giác...)

 Dùng trường hợp bằng nhau: c.c.c; c.g.c; g.c.g; các trường hợp đặc biệt của tam giác vuông

 Kết luận hai tam giác bằng nhau

DẠNG 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, bằng nhau, hai góc bằng nhau, vuông góc…

Muốn chứng minh đoạn thẳng/góc/đường song song

 Xét hai tam giác liên quan (có chứa cạnh, góc cần chứng minh)

 Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau

 Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau

 Áp dụng định lý: hai đường thẳng song song khi có góc so le trong bằng nhau

 Áp dụng hai góc kề bù có tổng số đo là 1800: hai góc bằng nhau và cùng bằng 900

 Dùng tính chất trung tuyến, trung điểm, trọng tâm

 Kết luận theo yêu cầu của đề bài

DẠNG 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Thường câu cuối sẽ dùng các kết quả được chứng minh ở trên, nếu câu trên chưa chứng minh được, các em vẫn được dùng kết quả đó để chứng minh câu dưới.

Quan trọng: Phân tích vị trí, vai trò các điểm cần chứng minh thẳng hàng

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

 Dùng tính chất các đường đồng quy trong tam giác

Trọng tâm, đỉnh, trung điểm

ABC có trọng tâm G, N là trung điểm BC trung tuyến AN đi qua trọng tâm của tam giác A, G, N thẳng hàng.

Trực tâm, đường cao và đỉnh

ABC có trực tâm H ((giao điểm của hai đường cao AD và BE), Nếu CF là đường cao thứ ba của △ABC đường cao CF cũng đi qua trực tâm H C, F, H thẳng hàng.

 Chứng minh hai đường thẳng trùng nhau

Cùng là tia phân giác của một góc

AH là tia phân giác $\widehat{BAC}$; AK là tia phân giác $\widehat{BAC}$ A, H, K thẳng hàng

Cùng vuông góc với một đường thẳng tại 1 điểm

AH BC; KH BC A, H, K thẳng hàng

Sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng song song

AH//BC; AK//BC A, H, K thẳng hàng

 Dùng tổng số đo góc, tổng số đo đoạn thẳng:

Tổng độ dài của hai đoạn thẳng nhỏ bằng độ dài của đoạn thẳng lớn hơn tạo bởi hai điểm đầu mút.

AM + MB = AB A, M, B thẳng hàng

Nếu hai góc kề nhau có tổng 180 độ, thì hai cạnh không chung của chúng là hai tia đối nhau, dẫn đến ba điểm thẳng hàng.

$\widehat{AMN}+\widehat{NMB}=180{}^\circ $ A, M, B thẳng hàng

DẠNG 4: Chứng minh một điểm là trung điểm đoạn thẳng

 Dùng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, quan trọng là điểm đó phải thuộc đoạn thẳng

 Dùng tính chất trọng tâm trong tam giác: Nếu một đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và trọng tâm của tam giác đó, thì đường thẳng đó sẽ cắt cạnh đối diện tại trung điểm của cạnh đó.

Lời khuyên khi làm bài:

Vẽ hình chính xác:

Một hình vẽ rõ ràng sẽ giúp em hình dung được mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng.

Phân tích đề bài:

Xác định rõ giả thiết và kết luận của bài toán.

Lựa chọn phương pháp phù hợp:

Dựa vào các yếu tố đã cho trong bài toán (ví dụ: các đường thẳng song song, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc đặc biệt) để chọn phương pháp chứng minh tối ưu.

Trình bày bài giải logic và chặt chẽ

.

Trình bày

bước nào rõ bước đó

, đủ ý

:

Nêu rõ các bước chứng minh, sử dụng các định lý, tính chất đã học một cách chính xác.

Kiểm tra lại bài làm:

Sau khi hoàn thành, hãy đọc lại bài giải để đảm bảo không có sai sót.

Luôn

kết luận rõ ràng cuối mỗi câu.