Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. Vẽ DH vuông góc BC tại H.

a) Chứng minh tam giác BAD = tam giác BHD

b) Chứng minh AH vuông góc BD

c) Vẽ đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA. Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, M, F thẳng hàng.

a) Chứng minh △BAD = △BHD

Xét △BAD vuông tại A và △BHD vuông tại H, ta có

BD là cạnh huyền chung

 ( do BD là tia phân giác góc ABC)

Suy ra rBAD = rBHD (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Chứng minh AH vuông góc BD

Ta có: rBAD = rBHD (cmt) Þ BA = BH và DA = DH (2 cạnh tương ứng)

Do BA = BH (cmt) Þ B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AH
DA = DH (cmt) Þ D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AH

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AH Þ AH ^ BD

c) Chứng minh ba điểm A,M,F thẳng hàng

Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE=IA Þ I là trung điểm của AE

rEAC có I là trung điểm của AE(cmt) Þ CI là trung tuyến của rEAC

rABC có AM là trung tuyến Þ M là trung điểm BC Þ (1)

I là trung điểm của BM Þ kết hợp (1) suy ra

Ta có M Î CI và , CI là trung tuyến của rEAC Þ M là trọng tâm của rEAC

mà AF là đường trung tuyến của rEAC (F là trung điểm của CE) nên AF đi qua trọng tâm M của rEAC Suy ra ba điểm A, M, F thẳng hàng.