Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AB.

a) Chứng minh: △ABC = △AMC.

b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCM và chứng minh: △BCM là tam giác cân.

c) Gọi K là trung điểm của BC. Qua K kẻ đường thẳng song song với BM cắt CM tại H. G là giao điểm của AC và MK. Chứng minh: ba điểm H, G, B thẳng hàng.

a) Chứng minh: △ABC = △AMC.

Xét △ABC vuông tại A và △AMC vuông tại A, ta có:

AC là cạnh chung

AB = AM (gt)

Suy ra rABC = rAMC ( 2 cạnh góc vuông)

b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCM và chứng minh: △BCM là tam giác cân.

Ta có: rABC = rAMC (cmt) Þ CB = CM (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{ACB}=\widehat{ACM}$(2 góc tương ứng)

Mà tia CA nằm trong góc BCM nên CA là tia phân giác của góc BCM

rBCM có CB = CM (cmt) Þ △BCM cân tại C

c) Chứng minh: ba điểm H, G, B thẳng hàng

Ta có KH //BM (gt)

Nên: $\widehat{CHK}=\widehat{CMB};\widehat{CKH}=\widehat{CBM}$(các góc đồng vị)

Mà $\widehat{CBM}=\widehat{CMB}$(do △BCM cân tại C)

Suy ra $\widehat{CHK}=\widehat{CKH}$

△CHK có $\widehat{CHK}=\widehat{CKH}$(cmt) nên △CHK cân tại C ⇒ CH = CK

mà $CK=\tfrac{1}{2}CB$ (do K là trung điểm của BC) và CB = CM (cmt) Þ $CH=\tfrac{1}{2}CM$mà H Î CM nên H là trung điểm CM.

Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AB ⇒ M là trung điểm BM

△BMC có trung tuyến MK( K là trung điểm của BC) và trung tuyến CA (M là trung điểm BM) cắt nhau tại G Þ G là trọng tâm của rBMC, mà BH là đường trung tuyến (H là trung điểm của CM) nên BH đi qua trọng tâm G của rBMC hay ba điểm H, G, B thẳng hàng.