Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn
 

🌟 MẸO "THẦN CHÚ" TÍNH NHANH (Dùng cho mọi bài)

Để đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số nhanh nhất:
- Tử số: Lấy (Toàn bộ số bỏ dấu phẩy và ngoặc) TRỪ ĐI (Phần số nằm trước chu kỳ).
- Mẫu số: Có bao nhiêu chữ số trong ngoặc (chu kỳ) thì viết bấy nhiêu số 9. Có bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy nhưng nằm ngoài ngoặc thì viết bấy nhiêu số 0.
- Ví dụ: $0,1(2) = \frac{12 - 1}{90} = \frac{11}{90}$ hoặc $3,2(45) = \frac{3245 - 32}{990} = \frac{3213}{990} = \frac{357}{110}$.
 

📝 LỜI GIẢI CHI TIẾT (CHUẨN TỰ LUẬN KNTT)

Bài 13.

a) Viết phân số dưới dạng số thập phân:
$$ \frac{1}{9} = 0,(1) $$
(Thực hiện phép chia 1 cho 9, ta thấy dư 1 lặp lại liên tục nên chu kỳ là 1)
$$ \frac{1}{99} = 0,(01) $$
(Thực hiện phép chia 1 cho 99, phần thập phân lặp lại cụm 01 liên tục)
$$ \frac{1}{999} = 0,(001) $$
(Tương tự, mẫu số có ba số 9 thì chu kỳ sau dấu phẩy có ba chữ số bắt đầu từ 001)

b) Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:
Nhóm 1:
$$ 0,(27) = 27 . 0,(01) $$
(Tách số 27 ra ngoài để đưa về dạng cơ bản 0,(01))
$$ = 27 . \frac{1}{99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} $$
(Thay 0,(01) bằng phân số tương ứng và rút gọn cho 9)

$$ 4,(5) = 4 + 0,(5) $$
(Tách phần nguyên là 4 và phần thập phân tuần hoàn là 0,(5))
$$ = 4 + 5 . 0,(1) = 4 + 5 . \frac{1}{9} $$
(Biến đổi 0,(5) thành 5 lần của 0,(1))
$$ = 4 + \frac{5}{9} = \frac{4 . 9 + 5}{9} = \frac{41}{9} $$
(Quy đồng mẫu số để cộng số nguyên với phân số)

$$ 3,(42) = 3 + 0,(42) $$
(Tách phần nguyên 3 và phần thập phân 0,(42))
$$ = 3 + 42 . \frac{1}{99} = 3 + \frac{42}{99} $$
(Đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số)
$$ = 3 + \frac{14}{33} = \frac{3 . 33 + 14}{33} = \frac{113}{33} $$
(Rút gọn 42/99 cho 3 rồi thực hiện phép cộng)

$$ 3,(321) = 3 + 321 . 0,(001) $$
(Tách phần nguyên và chuyển phần tuần hoàn về dạng cơ bản)
$$ = 3 + 321 . \frac{1}{999} = 3 + \frac{107}{333} = \frac{1106}{333} $$
(Rút gọn phân số 321/999 cho 3 rồi quy đồng cộng với 3)

Nhóm 2:
$$ 0,0(8) = 0,(8) . \frac{1}{10} $$
(Dời dấu phẩy sang phải 1 hàng để phần thập phân chỉ còn chu kỳ, sau đó nhân 1/10 để cân bằng)
$$ = \frac{8}{9} . \frac{1}{10} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} $$
(Đổi 0,(8) thành 8/9 và nhân hai phân số, sau đó rút gọn cho 2)

$$ 0,1(2) = 1,(2) . \frac{1}{10} $$
(Lùi dấu phẩy sang phải 1 hàng và nhân bù với 1/10)
$$ = [1 + 0,(2)] . \frac{1}{10} = \left( 1 + \frac{2}{9} \right) . \frac{1}{10} $$
(Tách phần nguyên và phần thập phân tuần hoàn)
$$ = \frac{11}{9} . \frac{1}{10} = \frac{11}{90} $$
(Tính tổng trong ngoặc rồi thực hiện phép nhân)

$$ 3,2(45) = 32,(45) . \frac{1}{10} $$
(Đưa dấu phẩy đến sát chu kỳ và nhân với 1/10)
$$ = [32 + 0,(45)] . \frac{1}{10} = \left( 32 + \frac{45}{99} \right) . \frac{1}{10} $$
(Tách phần nguyên và áp dụng quy tắc đổi 0,(ab) = ab/99)
$$ = \left( 32 + \frac{5}{11} \right) . \frac{1}{10} = \frac{357}{11} . \frac{1}{10} = \frac{357}{110} $$
(Rút gọn 45/99 cho 9 rồi cộng và nhân phân số)

$$ -0,34(567) = -34,(567) . \frac{1}{100} $$
(Dời dấu phẩy sang phải 2 hàng để sát chu kỳ, sau đó nhân 1/100)
$$ = -[34 + 0,(567)] . \frac{1}{100} = -\left( 34 + \frac{567}{999} \right) . \frac{1}{100} $$
(Giữ dấu âm bên ngoài, tách phần nguyên và đổi phần tuần hoàn)
$$ = -\left( 34 + \frac{21}{37} \right) . \frac{1}{100} = -\frac{1279}{37} . \frac{1}{100} = -\frac{1279}{3700} $$
(Rút gọn 567/999 cho 27, quy đồng rồi nhân kết quả)

 

Bài 14. Chứng tỏ rằng:

a) $0,(123) + 0,(876) = 1$
$$ VT = \frac{123}{999} + \frac{876}{999} $$
(Đổi các số thập phân tuần hoàn ra phân số có mẫu là 999)
$$ = \frac{123 + 876}{999} = \frac{999}{999} = 1 = VP $$
(Cộng hai phân số cùng mẫu và rút gọn, ta được điều phải chứng minh)

b) $0,(123) . 3 + 0,(630) = 1$
$$ VT = \frac{123}{999} . 3 + \frac{630}{999} $$
(Biến đổi số thập phân tuần hoàn thành phân số)
$$ = \frac{369}{999} + \frac{630}{999} = \frac{999}{999} = 1 = VP $$
(Thực hiện phép nhân trước, phép cộng sau và rút gọn ra kết quả bằng 1)
 

Bài 15. So sánh các số sau:

a) $0,31$ và $0,3(13)$
$$ 0,31 = 0,3100... $$
(Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng vô hạn để dễ so sánh)
$$ 0,3(13) = 0,31313... $$
(Khai triển chu kỳ 13 ra ít nhất hai lần)
So sánh từng hàng: Hàng đơn vị, hàng phần mười (3), hàng phần trăm (1) đều giống nhau. Đến hàng phần nghìn: $0 < 3$
$$ \Rightarrow 0,31 < 0,3(13) $$

b) $0,(54)$ và $0,5(45)$
$$ 0,(54) = 0,545454... $$
(Khai triển chu kỳ 54)
$$ 0,5(45) = 0,5454545... $$
(Khai triển chu kỳ 45 bắt đầu sau chữ số 5)
Ta thấy hai số có các chữ số ở tất cả các hàng tương ứng đều bằng nhau.
$$ \Rightarrow 0,(54) = 0,5(45) $$
 

Bài 16. Tìm chữ số sau dấu phẩy:

a) Chữ số thứ 200 của phân số $\frac{1}{9}$
$$ \frac{1}{9} = 0,(1) = 0,1111... $$
(Vì chu kỳ chỉ có 1 chữ số là 1, nên mọi vị trí sau dấu phẩy đều là chữ số 1)
Vậy chữ số thứ 200 là số 1.

b) Chữ số thứ 150 của phân số $\frac{2}{11}$
$$ \frac{2}{11} = 0,(18) $$
(Thực hiện phép chia ta được chu kỳ là 18, gồm 2 chữ số)
Ta có: $150 : 2 = 75$ (chia hết, không dư)
(Nếu chia hết thì chữ số cần tìm là chữ số cuối cùng của chu kỳ)
Vậy chữ số thứ 150 là số 8.

c) Chữ số thứ 100 của phân số $\frac{3}{13}$
$$ \frac{3}{13} = 0,(230769) $$
(Thực hiện phép chia ta được chu kỳ gồm 6 chữ số: 2, 3, 0, 7, 6, 9)
Ta có: $100 : 6 = 16$ dư $4$
(Số dư là 4 nên chữ số cần tìm là chữ số thứ 4 trong chu kỳ: 2, 3, 0, 7)
Vậy chữ số thứ 100 là số 7.

d) Chữ số thứ 105 của phân số $\frac{1}{7} . 17$
$$ \frac{1}{7} . 17 = \frac{17}{7} = 2,(428571) $$
(Thực hiện phép chia 17 cho 7 được phần nguyên 2 và chu kỳ 6 chữ số sau dấu phẩy)
Ta có: $105 : 6 = 17$ dư $3$
(Số dư là 3 nên chữ số cần tìm là chữ số thứ 3 trong chu kỳ: 4, 2, 8)
Vậy chữ số thứ 105 là số 8.