a/ Tính $S = 2^{2010} - 2^{2009} - 2^{2008} - \dots - 2 - 1$

b/ Tính $P = 1 + \frac{1}{2}(1+2) + \frac{1}{3}(1+2+3) + \dots + \frac{1}{16}(1+2+3+\dots+16)$

Lời giải

a/ Tính $S = 2^{2010} - 2^{2009} - 2^{2008} - \dots - 2 - 1$

Cách 1: Nhân thêm 2 

Nhân cả hai vế của biểu thức $S$ với $2$:

$2S = 2^{2011} - 2^{2010} - 2^{2009} - \dots - 2^2 - 2$

Lấy $2S$ trừ đi $S$ theo vế, ta nhóm các hạng tử đồng dạng để triệt tiêu:

$2S - S = \left(2^{2011} - 2^{2010} - 2^{2009} - \dots - 2\right) - \left(2^{2010} - 2^{2009} - 2^{2008} - \dots - 1\right)$

$S = 2^{2011} - 2^{2010} - 2^{2010} - 2^{2009} + 2^{2009} - 2^{2008} + 2^{2008} \dots - 2 + 2 + 1$

$S = 2^{2011} - 2^{2010} - 2^{2010} + 1$

$S = 2^{2011} - 2 .2^{2010} + 1$

$S = 2^{2011} - 2^{2011} + 1$

Vậy $S = 1$

Cách 2: Nhóm đặt dấu ngoặc (Đặt dấu trừ ra trước để nhóm các số hạng mang dấu âm lại thành một tổng:)

$S = 2^{2010} - \left(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{2008} + 2^{2009}\right)$

Đặt $M = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{2009}$

$\Rightarrow 2M = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2010}$

$\Rightarrow 2M - M = 2^{2010} - 1 \Rightarrow M = 2^{2010} - 1$

Thay $M$ ngược lại vào $S$:

$S = 2^{2010} - \left(2^{2010} - 1\right) = 2^{2010} - 2^{2010} + 1 = 1$

Vậy $S = 1$

b/ Tính $P = 1 + \frac{1}{2}(1+2) + \frac{1}{3}(1+2+3) + \dots + \frac{1}{16}(1+2+3+\dots+16)$

Công thức cần nhớ:

1. Công thức tính Số số hạng (Số các số trong dãy)

$\text{Số số hạng} = \frac{\text{Số cuối} - \text{Số đầu}}{\text{Khoảng cách}} + 1$

Trong đó: Dãy số được sắp xếp từ bé đến lớn, Khoảng cách là hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau.

2. Công thức tính Tổng của dãy số

Khi đã có số số hạng, ta áp dụng công thức:

$\text{Tổng} = \frac{(\text{Số đầu} + \text{Số cuối}) \cdot \text{Số số hạng}}{2}$

Mẹo nhớ nhanh cho học sinh: (Số đầu cộng số cuối) nhân số số hạng rồi chia đôi.

Áp dụng công thức tính tổng số hạng cách đều cho từng ngoặc trong biểu thức $P$:

Số hạng thứ 1: $1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = \frac{2}{2}$

Số hạng thứ 2: $\frac{1}{2}(1+2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} = \frac{3}{2}$

Số hạng thứ 3: $\frac{1}{3}(1+2+3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{4}{2}$

...

Số hạng cuối cùng: $\frac{1}{16}(1+2+\dots+16) = \frac{1}{16} \cdot \frac{16 \cdot 17}{2} = \frac{17}{2}$

Thay các kết quả đã rút gọn vào biểu thức $P$:

$P = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + \dots + \frac{17}{2}$

$P = \frac{1}{2} \cdot \left(2 + 3 + 4 + \dots + 17\right)$

$P = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{16 \cdot 19}{2} \right) = 76$

Vậy $P = 76$