(THSG-2025) Cho △OAB vuông cân tại O có OI là đường cao (I Î AB).

a) Chứng minh △OAI = △OBI và OI = IA.

b) Lấy E nằm giữa B và I. Kẻ AC ⊥ OE, BK ⊥ OE. OI cắt BK tại M. Chứng minh △ ICK vuông cân và $\widehat{IME}=\widehat{IKC}$.

a) Chứng minh △OAI = △OBI và OI = IA.

Xét △OAI và △OBI vuông tại I, ta có:

OA = OB (△OAB cân tại O).

OI là cạnh chung.

Suy ra △OAI = △OBI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vì △OAB vuông cân tại O nên $\widehat{OAB}=\,\widehat{OBA}=45{}^\circ$.

Mà △OAI vuông tại I, có $\widehat{OAB}=45{}^\circ$ nên △OAI vuông cân tại I ⇒ OI = IA.

△OBI vuông tại I, có $\widehat{OBA}=45{}^\circ$ nên △OBI vuông cân tại I ⇒ OI = IB

b) Chứng minh △ ICK vuông cân và $\widehat{IME}=\widehat{IKC}$

△COA vuông tại C nên $\widehat{COA}+\widehat{CAO}=90{}^\circ$

Mà $\widehat{COA}+\widehat{BOK}=\widehat{BOA}=90{}^\circ$( do △OAB vuông tại O) suy ra $\widehat{CAO}=\widehat{BOK}$

Xét △OAC vuông tại C và △OBK vuông tại K, ta có:

OA = OB (cmt)

$\widehat{CAO}=\widehat{BOK}$(cmt) (Các em có thể ghi cùng phụ $\widehat{COA}$).

Suy ra △OAC = △OBK (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ OC = BK (2 cạnh tương ứng)

△EOI vuông tại I nên $\widehat{EOI}+\widehat{IEO}=90{}^\circ$

△BEK vuông tại K nên $\widehat{EBK}+\widehat{BEK}=90{}^\circ$

Mà $\widehat{BEK}=\widehat{IEO}$(2 góc đối đỉnh) suy ra $\widehat{EBK}=\widehat{EOI}$

Xét △BKI và △OCI, ta có:

IB = IO (cmt)

$\widehat{EBK}=\widehat{EOI}$(cmt)

BK = OC (cmt)

Suy ra △BKI = △OCI (c.g.c) ⇒ IK = IC (2 cạnh tương ứng) và $\widehat{BIK}=\widehat{OIC}$(2 góc tương ứng)

mà $\widehat{OIC}+\widehat{CIE}=\widehat{OIE}=90{}^\circ$(do OI ⊥ AB tại I) ⇒ $\widehat{BIK}+\widehat{CIE}=90{}^\circ$

△KIC có $\widehat{KIC}=90{}^\circ$ và IK = IC (cmt) nên △ ICK vuông cân tại I ⇒ $\,\widehat{IKC}=45{}^\circ$

Xét △OIE vuông tại I và △BIM vuông tại I, ta có:

OI = IB (cmt)

$\widehat{EOI}=\widehat{EBK}=$(cmt)

Suy ra △OIE = △BIM (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) ⇒ IE = IM (2 cạnh tương ứng)

△EIM vuông tại I và IE = IM (cmt) nên △ EIM vuông cân tại I ⇒ $\widehat{IME}=45{}^\circ$

Do đó $\widehat{IME}=\widehat{IKC}=\,45{}^\circ$