CHUYÊN ĐỀ: SO SÁNH HAI SỐ HỮU TỈ 

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

• Định nghĩa: Với hai số hữu tỉ bất kì $x, y$, ta luôn có: $x = y$ hoặc $x > y$ hoặc $x < y$.

• Biểu diễn trên trục số: Nếu $x < y$ thì trên trục số, điểm $x$ nằm bên trái điểm $y$.

• Số hữu tỉ âm và dương: * Số hữu tỉ lớn hơn 0 là số hữu tỉ dương.

  • Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 là số hữu tỉ âm.

  • Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA CHI TIẾT

DẠNG 1: Quy đồng mẫu số hoặc tử số (Phương pháp truyền thống)

Phương pháp: > * Cùng mẫu: Đưa hai số hữu tỉ về dạng hai phân số có cùng một mẫu số dương. Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

• Cùng tử: Đưa hai số hữu tỉ về dạng hai phân số có cùng tử số dương. Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

Ví dụ 1: So sánh $-\frac{5}{8}$ và $-\frac{7}{12}$

• Hướng dẫn: Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của $8$ và $12$ là $24$.

• Lời giải:

  Ta có:

  $-\frac{5}{8} = \frac{-5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{-15}{24}$

  $-\frac{7}{12} = \frac{-7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{-14}{24}$

  Vì $-15 < -14$ nên $\frac{-15}{24} < \frac{-14}{24}$.

  Vậy $-\frac{5}{8} < -\frac{7}{12}$.

Ví dụ 2: So sánh $-0,6$ và $-\frac{2}{3}$

• Hướng dẫn: Đổi số thập phân sang phân số rồi quy đồng mẫu số.

• Lời giải:

  Ta có: $-0,6 = \frac{-6}{10} = \frac{-3}{5}$.

  Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{-3}{5}$ và $\frac{-2}{3}$ với mẫu chung là $15$:

  $\frac{-3}{5} = \frac{-3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{-9}{15}$

  $\frac{-2}{3} = \frac{-2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{-10}{15}$

  Vì $-9 > -10$ nên $\frac{-9}{15} > \frac{-10}{15}$.

  Vậy $-0,6 > -\frac{2}{3}$.

Ví dụ 3: So sánh $\frac{-4}{7}$ và $\frac{4}{-9}$

• Hướng dẫn: Viết phân số có mẫu âm thành mẫu dương trước khi so sánh.

• Lời giải:

  Ta có: $\frac{4}{-9} = \frac{-4}{9}$.

  So sánh hai phân số cùng tử số là $-4$ (hoặc đưa về cùng tử dương để học sinh dễ nhìn):

  Cách khác: Quy đồng mẫu chung là $63$:

  $\frac{-4}{7} = \frac{-4 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{-36}{63}$

  $\frac{-4}{9} = \frac{-4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{-28}{63}$

  Vì $-36 < -28$ nên $\frac{-36}{63} < \frac{-28}{63}$.

  Vậy $\frac{-4}{7} < \frac{4}{-9}$.

Ví dụ 4: So sánh $\frac{3}{123}$ và $\frac{4}{163}$ (Phương pháp quy đồng tử số)

• Hướng dẫn: Bài này mẫu số rất lớn, ta nên quy đồng tử số về cùng tử số là $12$.

• Lời giải:

  Ta có:

  $\frac{3}{123} = \frac{3 \cdot 4}{123 \cdot 4} = \frac{12}{492}$

  $\frac{4}{163} = \frac{4 \cdot 3}{163 \cdot 3} = \frac{12}{489}$

  Vì hai phân số có cùng tử số dương, phân số nào có mẫu lớn hơn thì nhỏ hơn.

  Do $492 > 489$ nên $\frac{12}{492} < \frac{12}{489}$.

  Vậy $\frac{3}{123} < \frac{4}{163}$.

DẠNG 2: So sánh bằng nhân chéo (Dùng tính chất $a \cdot d$ và $b \cdot c$)

Phương pháp: > Cho hai số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ (với $b > 0, d > 0$):

• Nếu $a \cdot d < b \cdot c$ thì $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$

• Nếu $a \cdot d > b \cdot c$ thì $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$

  Đây là cách làm rất nhanh, giúp học sinh yếu kém không bị nhầm lẫn khi quy đồng.

Ví dụ 1: So sánh $-\frac{3}{7}$ và $-\frac{4}{9}$

• Lời giải:

  Đưa về hai phân số có mẫu dương: $\frac{-3}{7}$ và $\frac{-4}{9}$.

  Xét các tích chéo:

  $(-3) \cdot 9 = -27$

  $7 \cdot (-4) = -28$

  Vì $-27 > -28$ nên $\frac{-3}{7} > \frac{-4}{9}$.

  Vậy $-\frac{3}{7} > -\frac{4}{9}$.

Ví dụ 2: So sánh $\frac{-5}{6}$ và $\frac{-11}{13}$

• Lời giải:

  Xét các tích chéo:

  $(-5) \cdot 13 = -65$

  $6 \cdot (-11) = -66$

  Vì $-65 > -66$ nên $\frac{-5}{6} > \frac{-11}{13}$.

Ví dụ 3: So sánh $\frac{-8}{15}$ và $\frac{1 mét}{2} \rightarrow \frac{7}{-13}$

• Lời giải:

  Viết lại $\frac{7}{-13} = \frac{-7}{13}$.

  Xét các tích chéo của $\frac{-8}{15}$ và $\frac{-7}{13}$:

  $(-8) \cdot 13 = -104$

  $15 \cdot (-7) = -105$

  Vì $-104 > -105$ nên $\frac{-8}{15} > \frac{7}{-13}$.

Ví dụ 4: So sánh $-\frac{12}{17}$ và $-\frac{13}{18}$

Lời giải:

Xét các tích chéo của $\frac{-12}{17}$ và $\frac{-13}{18}$:

$(-12) \cdot 18 = -216$

$17 \cdot (-13) = -221$

Vì $-216 > -221$ nên $-\frac{12}{17} > -\frac{13}{18}$.

Đề bài: Cho hai số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ ($b > 0, d > 0$). Chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ nếu $ad < bc$ và ngược lại.

Lời giải :

Yêu cầu của bài toán là chứng minh hai chiều (mối quan hệ tương đương):

• Chiều xuôi: Nếu $ad < bc$ thì $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

• Chiều ngược: Nếu $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ thì $ad < bc$.

• 1. Chứng minh chiều xuôi:

• Giả sử ta đã có: $ad < bc$.

• Vì $b > 0$ và $d > 0$ nên tích $b \cdot d > 0$.

• Chia cả hai vế của bất đẳng thức $ad < bc$ cho số dương $bd$ (bất đẳng thức không đổi chiều), ta được:

  $\frac{ad}{bd} < \frac{bc}{bd}$

• Rút gọn $d$ ở vế trái và rút gọn $b$ ở vế phải, ta thu được:

  $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$

  (Điều phải chứng minh)

• 2. Chứng minh chiều ngược:

• Giả sử ta đã có: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

• Quy đồng mẫu số hai phân số này với mẫu số chung là $bd$ (vì $b > 0, d > 0$ nên $bd > 0$):

  $\frac{a \cdot d}{b \cdot d} < \frac{c \cdot b}{d \cdot b} \Rightarrow \frac{ad}{bd} < \frac{bc}{bd}$

• Do hai phân số có cùng mẫu số dương $bd$, phân số nào nhỏ hơn thì tử số của nó phải nhỏ hơn. Suy ra:

  $ad < bc$ (Điều phải chứng minh)

Đề bài: Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ ($b > 0, d > 0$) thì $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$.

(Đây chính là tính chất kết hợp/số chèn giữa của phân số, hay còn gọi là Định lý Mediant).

Lời giải :

Để chứng minh chuỗi bất đẳng thức này, ta sẽ tách thành 2 bước chứng minh độc lập:

• Bước 1: Chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}$

• Bước 2: Chứng minh $\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

• Vì đề bài cho $b > 0, d > 0$ nên ta cũng có $b + d > 0$. Áp dụng ngay kết quả đã chứng minh ở Bài 7 (phương pháp nhân chéo), ta thực hiện như sau:

  1. Chứng minh vế đầu: $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}$

• Theo Bài 7, để chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}$, ta chỉ cần xét hiệu hoặc so sánh tích chéo của chúng:

  Xét tích chéo thứ nhất: $a \cdot (b + d) = ab + ad$

  Xét tích chéo thứ hai: $b \cdot (a + c) = ba + bc = ab + bc$

• Theo giả thiết đề bài, ta có $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow ad < bc$ (kết quả bài 7).

• Cộng thêm $ab$ vào cả hai vế của bất đẳng thức $ad < bc$, ta được:

  $ab + ad < ab + bc$
  $\Rightarrow a(b + d) < b(a + c)$

• Vì $b > 0$ và $b + d > 0$, theo định lý nhân chéo ở Bài 7, ta suy ra:

  $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \quad \text{(1)}$

• 2. Chứng minh vế sau: $\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

• Tương tự, ta xét các tích chéo của hai phân số này:

  Xét tích chéo thứ nhất: $(a + c) \cdot d = ad + cd$

  Xét tích chéo thứ hai: $(b + d) \cdot c = bc + dc = bc + cd$

• Từ giả thiết $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow ad < bc$.

• Cộng thêm $cd$ vào cả hai vế của bất đẳng thức $ad < bc$, ta được:

  $ad + cd < bc + cd$
  $\Rightarrow (a + c)d < (b + d)c$

• Vì $d > 0$ và $b + d > 0$, theo định lý nhân chéo ở Bài 7, ta suy ra:

  $\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \quad \text{(2)}$

• Kết luận: Từ (1) và (2) ta suy ra: $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$ (Điều phải chứng minh).

  💡  Bài toán này giúp học sinh nhận ra một tính chất rất đẹp: Khi ta cộng tử với tử, mẫu với mẫu của hai phân số khác nhau, ta sẽ thu được một phân số mới luôn nằm kẹp giữa hai phân số ban đầu. Dạng bài tập "Tìm một hoặc nhiều số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ cho trước".

DẠNG 3: So sánh qua số trung gian (Số 0, số 1, hoặc một phân số phù hợp)

Phương pháp: > * Trung gian là số 0: Số hữu tỉ âm luôn nhỏ hơn số hữu tỉ dương.

• Trung gian là số 1: Phân số có tử < mẫu (tử, mẫu dương) thì < 1; phân số có tử > mẫu thì > 1.

Ví dụ 1: So sánh $\frac{-2025}{2026}$ và $\frac{1}{1000}$ (Chọn số 0 làm trung gian)

• Lời giải:

  Ta thấy:

  $\frac{-2025}{2026} < 0$ (vì là số hữu tỉ âm)

  $\frac{1}{1000} > 0$ (vì là số hữu tỉ dương)

  Do đó: $\frac{-2025}{2026} < 0 < \frac{1}{1000}$.

  Vậy $\frac{-2025}{2026} < \frac{1}{1000}$.

Ví dụ 2: So sánh $\frac{17}{15}$ và $\frac{29}{31}$ (Chọn số 1 làm trung gian)

• Lời giải:

  Ta thấy:

  $\frac{17}{15} > 1$ (vì tử số lớn hơn mẫu số, cả hai đều dương)

  $\frac{29}{31} < 1$ (vì tử số nhỏ hơn mẫu số, cả hai đều dương)

  Do đó: $\frac{17}{15} > 1 > \frac{29}{31}$.

  Vậy $\frac{17}{15} > \frac{29}{31}$.

Ví dụ 3: So sánh $-\frac{19}{41}$ và $\frac{11}{-9}$ (Chọn số $-1$ làm trung gian)

• Lời giải:

  Ta có: $\frac{11}{-9} = \frac{-11}{9}$.

  Nhận xét:

  $-\frac{19}{41} > -1$ (vì $19 < 41 \Rightarrow \frac{19}{41} < 1 \Rightarrow -\frac{19}{41} > -1$)

  $\frac{-11}{9} < -1$ (vì $11 > 9 \Rightarrow \frac{11}{9} > 1 \Rightarrow \frac{-11}{9} < -1$)

  Do đó: $-\frac{19}{41} > -1 > \frac{11}{9}$.

  Vậy $-\frac{19}{41} > \frac{11}{-9}$.

Ví dụ 4: So sánh $\frac{13}{38}$ và $\frac{-29}{-42}$ (Chọn phân số trung gian $\frac{1}{2}$)

• Lời giải:

  Ta có: $\frac{-29}{-42} = \frac{29}{42}$.

  Chọn số trung gian là $\frac{1}{2}$:

  Ta thấy: $\frac{13}{38} < \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$

  Lại có: $\frac{29}{42} > \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$

  Suy ra: $\frac{13}{38} < \frac{1}{2} < \frac{29}{42}$.

  Vậy $\frac{13}{38} < \frac{-29}{-42}$.

DẠNG 4: So sánh phần bù hoặc phần hơn (Phương pháp nâng cao một chút)

Phương pháp: > * Phần hơn (khi tử > mẫu): Ta viết phân số dưới dạng $1 + \text{phần hơn}$. Phân số nào có phần hơn lớn hơn thì lớn hơn.

• Phần bù (khi tử < mẫu): Ta viết phân số dưới dạng $1 - \text{phần bù}$. Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

• Lưu ý: Đối với số âm, ta so sánh hai số dương trước rồi đảo chiều kết quả.

Ví dụ 1: So sánh $\frac{2024}{2025}$ và $\frac{2025}{2026}$

• Lời giải:

  Ta xét phần bù tới 1 của hai phân số:

  Phần bù của $\frac{2024}{2025}$ là: $1 - \frac{2024}{2025} = \frac{1}{2025}$

  Phần bù của $\frac{2025}{2026}$ là: $1 - \frac{2025}{2026} = \frac{1}{2026}$

  Vì $\frac{1}{2025} > \frac{1}{2026}$ (hai phân số cùng tử, mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn).

  Do phần bù lớn hơn nên phân số đó nhỏ hơn: $\frac{2024}{2025} < \frac{2025}{2026}$.

Ví dụ 2: So sánh $-\frac{2024}{2025}$ và $-\frac{2025}{2026}$

• Lời giải:

  Theo Ví dụ 1, ta đã chứng minh được: $\frac{2024}{2025} < \frac{2025}{2026}$.

  Khi nhân cả hai vế với $-1$ (hoặc đổi dấu thành số âm), ta phải đổi chiều bất đẳng thức:

  $-\frac{2024}{2025} > -\frac{2025}{2026}$.

Ví dụ 3: So sánh $\frac{43}{41}$ và $\frac{55}{53}$ (Phương pháp phần hơn)

• Lời giải:

  Ta viết hai phân số dưới dạng hỗn số (hoặc tách phần hơn):

  $\frac{43}{41} = 1 + \frac{2}{41}$

  $\frac{55}{53} = 1 + \frac{2}{53}$

  Vì hai phân số $\frac{2}{41}$ và $\frac{2}{53}$ có cùng tử số, mà $41 < 53$ nên $\frac{2}{41} > \frac{2}{53}$.

  Do đó: $1 + \frac{2}{41} > 1 + \frac{2}{53}$.

  Vậy $\frac{43}{41} > \frac{55}{53}$.

Ví dụ 4: So sánh $-\frac{103}{100}$ và $-\frac{105}{102}$

• Lời giải:

  Trước hết ta so sánh hai số dương: $\frac{103}{100}$ và $\frac{105}{102}$.

  Ta có:

  $\frac{103}{100} = 1 + \frac{3}{100}$

  $\frac{105}{102} = 1 + \frac{3}{102}$

  Vì $\frac{3}{100} > \frac{3}{102}$ nên $\frac{103}{100} > \frac{105}{102}$.

  Suy ra đối với số âm ta đảo chiều: $-\frac{103}{100} < -\frac{105}{102}$.

III. CÁC EM CHÚ Ý:

1. Luôn ưu tiên đổi về mẫu dương: Học sinh rất hay sai dấu khi để mẫu âm (ví dụ $\frac{2}{-3}$). Việc đầu tiên các em cần làm là chuyển dấu trừ lên tử số.

2. Sử dụng quy tắc "Nhân chéo" cho bài toán cơ bản: Với các em tính toán chậm, việc tìm mẫu số chung rồi quy đồng rất dễ sai sót. Cách lấy "Tử phân số này nhân Mẫu phân số kia" là cách so sánh nhanh hai phân số.

3. Trực quan hóa bằng trục số: Khi phân vân không biết $-5$ hay $-3$ lớn hơn, các em hãy vẽ một trục số để các em thấy rõ $-5$ nằm bên trái $-3$, nên $-5 < -3$.