Cho △ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ NH vuông góc với CM tại H. Kẻ AK vuông góc với CM tại K. Kẻ AQ vuông góc với HN tại Q.

a/ Chứng minh: AK=HC=AQ.

b/ Chứng minh: $\widehat{ABK}=\widehat{CAH}$

c/ Tính số đo $\widehat{AKB}$

d/ Chứng minh: △ABH cân

a/ Chứng minh: AK=HC=AQ

Ta có △ABC vuông cân tại A Þ AB = AC

M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên

$AM=MB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC=AN=NC$

Xét △HNC vuông tại H và △QNA vuông tại Q, Ta có:

NC = AN (cmt)

$\widehat{HNC}=\widehat{QNA}$(2 góc đối đỉnh)

Vậy △HNC = △QNA (cạnh huyền – góc nhọn)

Þ HC = AQ (1) (2 cạnh tương ứng)

Ta có △MAC vuông tại A Þ $\widehat{ACM}+\widehat{AMC}=90{}^\circ$

Mà △NHC vuông tại H Þ $\widehat{ACM}+\widehat{HNC}=90{}^\circ$ nên $\widehat{HNC}=\widehat{AMC}$

Xét △HNC vuông tại H và △KMA vuông tại K, Ta có:

NC = AM (cmt) ; $\widehat{HNC}=\widehat{AMC}$ (cmt)

Vậy △HNC = △ KMA (cạnh huyền – góc nhọn) Þ HC = AK (2 cạnh tương ứng) kết hợp (1) ta được AK=HC=AQ

b/ Chứng minh: $\widehat{ABK}=\widehat{CAH}$

Xét △ABK và △CAH , Ta có:

AB = AC (cmt)

$\widehat{BAK}=\widehat{ACH}$(2 góc tương ứng của △HNC = △ KMA )

AK = HC (cmt)

Vậy △ABK = △CAH (c-g-c) Þ $\widehat{ABK}=\widehat{CAH}$(2 góc tương ứng)

c/ Tính số đo $\widehat{AKB}$ 

NH ^ CM tại H; AK ^ CM tại K Þ KA // HQ Þ $\widehat{KAH}=\widehat{AHQ}$(2 góc soletrong)

Xét △AKH vuông tại K và △HQA vuông tại Q, Ta có:

AH là cạnh chung; $\widehat{KAH}=\widehat{AHQ}$ (cmt)

Vậy △AKH = △ HQA (cạnh huyền – góc nhọn) Þ KH = AQ (2 cạnh tương ứng) kết hợp (1) ta được AK=KH=AQ

△AKH vuông tại K có AK=KH Þ △AKH vuông cân tại K Þ $\widehat{KAH}=45{}^\circ =\widehat{AHQ}$

Ta có $\widehat{AHC}=\widehat{AHQ}+\widehat{CHN}=45{}^\circ +90{}^\circ =135{}^\circ$

Mà $\widehat{AHC}=\widehat{AKB}$(2 góc tương ứng của △ABK = △CAH) Nên $\widehat{AKB}=135{}^\circ$

d) Chứng minh: △ABH cân

Ta có: $\widehat{AKB}=\widehat{BKM}+\widehat{MKA}\Rightarrow \widehat{BKM}=\widehat{AKB}-\widehat{MKA}=135{}^\circ -90{}^\circ =45{}^\circ$

Mà $\widehat{BKM}+\widehat{BKH}=180{}^\circ$(2 góc kề bù) Þ $\widehat{BKH}=180{}^\circ -\widehat{BKM}=180{}^\circ -45{}^\circ =135{}^\circ$

Xét △BKA và △BKH, ta có:

BK là cạnh chung; $\widehat{BKH}=\widehat{AKB}(=135{}^\circ )$ ; KA = KH (cmt)

Vậy △BKA = △BKH (c-g-c) Þ BA = BH (2 cạnh tương ứng) Þ △ABH cân tại B

Ta có AK = AQ mà AK ^ HM tại K; AQ ^ HN tại Q

Þ HA là tia phân giác của góc KHN (Tính chất tia phân giác)

Mà $\widehat{KHN}=90{}^\circ$(NH ^ CM tại H) Þ $\widehat{AHN}=\dfrac{1}{2}\widehat{KHN}=\dfrac{1}{2}.90{}^\circ =45{}^\circ$