LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương pháp
A. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
+ Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương, đổi hỗn số ra phân số, quy đồng mẫu chung (bấm ALPHA + ¸  sẽ ra LCM())
+ Cộng, trừ phân số. Rút gọn kết quả nếu  được, luôn nhớ 2 số đối cộng nhau bằng 0.
Với $x=\dfrac{a}{m};y=\dfrac{b}{m}\left( a,b,m\in \mathbb{Z},m>0 \right)$
$x+y=\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{m}=\dfrac{a+b}{m}$
$x-y=\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{m}=\dfrac{a-b}{m}$
B. Nhân, chia hai số hữu tỉ
Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.
Với $x=\dfrac{a}{b};y=\dfrac{c}{d}$, với $b,d\ne 0$ ta có: $x.y=\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$.
Với $y\ne 0$, ta có: $x:y=\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}$
Rút gọn tử - mẫu, kết quả nếu  được.
2. Tính chất
Có tính chất của phép cộng, phép nhân phân số:
Với $a,b,c\notin \mathbb{Q}$ ta có:
+ Tính chất giao hoán: $a+b=b+a$; $a.b=b.a$
+ Tính chất kết hợp: $a+\left( b+c \right)=\left( a+b \right)+c$; $a.\left( b.c \right)=\left( a.b \right).c$
+ Cộng với số 0: $a+0=0+a=a$
+ Cộng với số đối: $a+\left( -a \right)=0$
+ Tính chất nhân với 1: $a.1=1.a=a$
+ Tính chất nhân với 0: $a.0=0$
+ Tính chất phân phối: $a.\left( b+c \right)=a.b+a.c$
+ Đặt thừa số chung: $x.y+x.z=x.\left( y+z \right)$ Chú ý không có tính chất: $x:y+x:z=x:\left( y+z \right)$
+ Một số phép toán hay sử dụng: $\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z};\dfrac{x-y}{z}=\dfrac{x}{z}-\dfrac{y}{z}$, với $z\ne 0$
$-\left( x.y \right)=-x.y=x.\left( -y \right)$
$x.y=0\Rightarrow x=0$ hoặc $y=0$
+ Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta áp dụng quy tắc như đối với số thập phân.
*  Quy tắc “chuyển vế”
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.
Với mọi $a,b,c\in \mathbb{Q}$, nếu $a+b=c$ thì $a=-b+c$
*  Quy tắc “dấu ngoặc”
+ Trước ngoặc là dấu “+” : mở ngoặc giữ nguyên dấu: $a+\left( b+c \right)=a+b+c;a+\left( b-c \right)=a+b-c$
+ Trước ngoặc là dấu “-” : mở ngoặc đổi dấu “+” thành “-“ và “-“ thành “+”: $-\left( a+b \right)=-a-b;-\left( a-b \right)=-a+b$
+ Trong $\mathbb{Q}$ ta có tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong $\mathbb{Z}$.
Với $x,y,z\in \mathbb{Q}$ ta có:
$x-\left( y-z \right)=x-y+z=x+z-y$ (phá ngoặc – giao hoán)
$x-y+z=x+\left( -y+z \right)=x-\left( y-z \right)$ (kết hợp và xử lý dấu trước ngoặc)
3. Mọi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo, Số 0 không có số nghịch đảo.
Với $a\in \mathbb{Q},a\ne 0$. Số nghịch đảo của a là $\dfrac{1}{a}$.
Ví dụ: Nghịch đảo của $\dfrac{1}{2}$ là $\dfrac{2}{1}=2$;
Nghịch đảo của $\dfrac{-2}{3}$ là $\dfrac{3}{-2}=\dfrac{-3}{2}$
4. Tỉ số: Thương của phép chia x cho y (với $y\ne 0$) gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là $\dfrac{x}{y}$ hoặc $x:y$.
HƯỚNG DẪN CÁC BÀI TOÁN
Ví dụ 1 (Nhận biết) . Tính                                                                                       
a. $\dfrac{6}{11}+\dfrac{7}{11}$                          
b. $\dfrac{11}{9}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{3}$        
c. $0,1-\dfrac{2}{11}$       
d. $1\dfrac{1}{12}+2\dfrac{3}{8}$
e. $\dfrac{-8}{3}.\dfrac{2}{5}$                                                       
f. $2\dfrac{8}{3}.3\dfrac{3}{2}$
g. $\dfrac{6}{5}:\dfrac{8}{3}$                                                              
h. $0,5:\left( 2\dfrac{3}{4} \right)$
             Giải:
             a. $\dfrac{6}{11}+\dfrac{7}{11}=\dfrac{6+7}{11}=\dfrac{13}{11}$
             Nhận xét: Hai số hữu tỉ $\dfrac{6}{11}$ và $\dfrac{7}{11}$ là hai phân số có cùng mẫu, nên áp dụng ngay phép toán cộng và trừ số hữu tỉ để giải.
             b. $\dfrac{11}{9}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{11+4}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{15}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5-1}{3}=\dfrac{4}{3}$
             Nhận xét: Với câu này tuy xuất hiện nhiều số hữu tỉ song ta thực hiện phép tính theo tuần tự vẫn giải được.
             Ngoài ra nếu ta chưa phát hiện $\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}$ thì ta có thể quy đồng và giải tiếp như cách giải câu c.
             c. Bấm máy tìm mẫu số  chung. MSC=BCNN$\left( 10;11 \right)$ =$10.11=110$
             $0,1-\dfrac{2}{11}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{2}{11}=\dfrac{11}{110}-\dfrac{20}{110}=\dfrac{11-20}{110}=\dfrac{-9}{110}$
             Nhận xét: Trong câu này ta nên đưa về phép tính hai số hữu tỉ viết dưới dạng phân số, song hai phân số này không cùng mẫu số nên ta tìm bội số chung nhỏ nhất của chúng rồi áp dụng phép toán.
             d. Bấm máy tìm mẫu số  chung. $12=2.2.3$, $8=2.2.2$, MSC=BCNN$\left( 12;8 \right)$ =$2.2.3.2=24$
             d. $1\dfrac{1}{12}+2\dfrac{3}{8}=\dfrac{13}{12}+\dfrac{19}{8}=\dfrac{26}{24}+\dfrac{57}{24}=\dfrac{26+57}{24}=\dfrac{83}{24}$
             e. $\dfrac{-8}{3}.\dfrac{2}{5}=\dfrac{-8.2}{3.5}=\dfrac{-16}{15}$
             f. $2\dfrac{8}{3}.3\dfrac{3}{2}=\dfrac{14}{3}.\dfrac{9}{2}=\dfrac{14.9}{3.2}=\dfrac{126}{6}=21$
             g. $\dfrac{6}{5}:\dfrac{8}{3}=\dfrac{6}{5}.\dfrac{3}{8}=\dfrac{6.3}{5.8}=\dfrac{18}{40}=\dfrac{9}{20}$
             h. $0,5:\left( 2\dfrac{3}{4} \right)=\dfrac{1}{2}:\dfrac{11}{4}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{11}=\dfrac{1.4}{2.11}=\dfrac{4}{22}=\dfrac{2}{11}$
             Nhận xét: Nhìn chung các phép nhân và chia ta chỉ cần áp dụng đúng công thức mà không phải tìm bội số chung nhỏ nhất.
Ví dụ 2 (Thông hiểu) . Thực hiện phép tính.
             a. $A=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \right).\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2}:\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6} \right)$       b. $B=\left( \dfrac{2}{3}-1 \right)-\left[ \dfrac{1}{3}-\left( \dfrac{5}{3}-1 \right) \right]$
             c. $C=3.\left[ \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{5}:\left( \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{4} \right) \right]$             d. $D=\dfrac{10.\left( \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{3}:\left( 1+\dfrac{3}{5} \right)}{\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4} \right):\left( \dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{6} \right)-1}$
             e. $E=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{10000}+\dfrac{1}{100000}+\dfrac{1}{1000000}$
             Giải:
             Lưu ý trước khi giải ví dụ 2:
             Thứ nhất: nắm vững quy tắc và thứ tự thực hiện các phép tính.
             Thứ hai: quy tắc bỏ dấu ngoặc
             Nếu bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên
             Nếu bỏ dấu ngoặc có dấu “-” đằng trước thì ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc.
a. $A=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \right).\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2}:\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6} \right)=\left( \dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6} \right).\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2}:\left( \dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6} \right)$
             $=\left( \dfrac{2+1}{6} \right).\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2}:\left( \dfrac{2-1}{6} \right)=\left( \dfrac{3}{6} \right).\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2}:\left( \dfrac{1}{6} \right)$
             $=\dfrac{3}{6}.\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{6}=\dfrac{3.5}{6.5}-\dfrac{1}{2}.6$
             $=\dfrac{3}{5}-3=\dfrac{3}{5}-\dfrac{15}{5}=\dfrac{3-15}{5}=\dfrac{-12}{5}$
b. $B=\left( \dfrac{2}{3}-1 \right)-\left[ \dfrac{1}{3}-\left( \dfrac{5}{3}-1 \right) \right]=\left( \dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{3} \right)-\left[ \dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}+1 \right]=\left( \dfrac{2-3}{3} \right)-\left( \dfrac{1-5}{3}+1 \right)$
             $=\left( \dfrac{-1}{3} \right)-\left( \dfrac{-4}{3}+1 \right)=\dfrac{-1}{3}+\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{-1+4}{3}-1=\dfrac{3}{3}-1=1-1=0$
c. $C=3.\left[ \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{5}:\left( \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{4} \right) \right]=3.\left[ \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{5}:\left( \dfrac{2}{20}+\dfrac{5}{20} \right) \right]=3.\left[ \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{5}:\left( \dfrac{2+5}{20} \right) \right]$
             $=3.\left[ \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{5}:\left( \dfrac{7}{20} \right) \right]=3.\left[ \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{5}.\dfrac{20}{7} \right]=3.\left[ \dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{7} \right]$
             $=3.\left( \dfrac{35-24}{42} \right)=3.\left( \dfrac{11}{42} \right)=\dfrac{11}{14}$
d. $D=\dfrac{10.\left( \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{3}:\left( 1+\dfrac{3}{5} \right)}{\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4} \right):\left( \dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{6} \right)-1}=\dfrac{10.\left( \dfrac{4}{10}-\dfrac{5}{10} \right)-\dfrac{1}{3}:\left( \dfrac{5}{5}+\dfrac{3}{5} \right)}{\left( \dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{6}-\dfrac{3}{4} \right):\left( \dfrac{15}{6}+\dfrac{7}{6} \right)-1}$
             $=\dfrac{10.\left( \dfrac{4-5}{10} \right)-\dfrac{1}{3}:\left( \dfrac{5+3}{5} \right)}{\left( \dfrac{3+4}{6}-\dfrac{3}{4} \right):\left( \dfrac{15+7}{6} \right)-1}=\dfrac{10.\left( \dfrac{-1}{10} \right)-\dfrac{1}{3}:\left( \dfrac{8}{5} \right)}{\left( \dfrac{7}{6}-\dfrac{3}{4} \right):\left( \dfrac{22}{6} \right)-1}=\dfrac{\dfrac{-10}{10}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{5}{8}}{\left( \dfrac{14}{12}-\dfrac{9}{12} \right):\left( \dfrac{11}{3} \right)-1}$
             $=\dfrac{-1-\dfrac{1.5}{3.8}}{\left( \dfrac{14-9}{12} \right):\dfrac{11}{3}-1}=\dfrac{-1-\dfrac{5}{24}}{\dfrac{5}{12}.\dfrac{3}{11}-1}=\dfrac{-\dfrac{24}{24}-\dfrac{5}{24}}{\dfrac{5}{44}-1}=\dfrac{-\dfrac{29}{24}}{\dfrac{5}{44}-\dfrac{44}{44}}$
             $=\dfrac{-\dfrac{29}{24}}{\dfrac{5-44}{44}}=\dfrac{-\dfrac{29}{24}}{\dfrac{-39}{44}}=-\dfrac{29}{24}:\dfrac{-39}{44}=\dfrac{-29}{24}.\dfrac{-44}{39}=\dfrac{\left( -29 \right).\left( -44 \right)}{24.39}=\dfrac{319}{234}$.
e. $E=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{10000}+\dfrac{1}{100000}+\dfrac{1}{1000000}$
             $=0,1+0,01+0,001+0,0001+0,00001+0,000001$
=0,1+0,01+0,001+0,0001+0,000011 
=0,1+0,001+0,0001+0,000111=0,1+0,01+0,001111 
=0,1+0,011111=0,111111 

Ví dụ 3 (Vận dụng) . Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý
             a. $A=\dfrac{5}{6}+\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{3}$   b. $B=1\dfrac{2}{3}+0,25-\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{4}+\dfrac{3}{2}$
             c. $C=\dfrac{10}{11}.\left( \dfrac{-1}{5} \right)+\dfrac{16}{5}.\dfrac{10}{11}$   d. $D=\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \right):\dfrac{5}{3}-\left( \dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{5} \right):\dfrac{5}{3}$
Giải:
Nhận xét: Trong ví dụ này ta phải sử dụng các tính chất để nhóm các số hữu tỉ mà dễ tính được giá trị sau khi nhóm. Sâu đây là bài giải, các bạn xem và tìm ra tính chất đã được sử dụng để làm bài tập này
a. $A=\dfrac{5}{6}+\dfrac{6}{7}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{3}=\left( \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6} \right)+\dfrac{6}{7}+\dfrac{7}{3}=\left( \dfrac{5-1}{6} \right)+\dfrac{6}{7}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{7}+\dfrac{7}{3}$
             $=\left( \dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3} \right)+\dfrac{6}{7}=\left( \dfrac{2+7}{3} \right)+\dfrac{6}{7}=3+\dfrac{6}{7}=\dfrac{21}{7}+\dfrac{6}{7}=\dfrac{27}{7}$
b. $B=1\dfrac{2}{3}+0,25-\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{4}+\dfrac{3}{2}=\left( \dfrac{5}{3}-\dfrac{8}{3} \right)+\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{7}{4} \right)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5-8}{3}+\dfrac{1-7}{4}+\dfrac{3}{2}$
             $=\dfrac{-3}{3}+\dfrac{-6}{4}+\dfrac{3}{2}=1-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=-1+\left( \dfrac{-3}{2}+\dfrac{3}{2} \right)=-1+0=-1$
c. $C=\dfrac{10}{11}.\left( \dfrac{-1}{5} \right)+\dfrac{16}{5}.\dfrac{10}{11}=\dfrac{10}{11}.\left( \dfrac{-1}{5}+\dfrac{16}{5} \right)=\dfrac{10}{11}.\left( \dfrac{-1+16}{5} \right)=\dfrac{10}{11}.\left( \dfrac{15}{5} \right)$
             $=\dfrac{10}{11}.3=\dfrac{30}{11}$
d. $D=\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \right):\dfrac{5}{3}-\left( \dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{5} \right):\dfrac{5}{3}=\left[ \left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \right)-\left( \dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{5} \right) \right]:\dfrac{5}{3}=\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{5} \right).\dfrac{3}{5}$
             $\left[ \left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3} \right)+\left( \dfrac{-1}{5}+\dfrac{1}{5} \right) \right].\dfrac{3}{5}=\left( \dfrac{1-5}{3}+0 \right).\dfrac{3}{5}=\dfrac{-4}{3}.\dfrac{3}{5}=\dfrac{-4}{5}$
Ví dụ 4 (vận dụng và vận dụng cao) . Tìm số hữu tỉ x biết:
             a) $x-\dfrac{12}{5}=1$                                                               b) $1-\left( x+\dfrac{2}{7} \right)=\dfrac{5}{7}$
             c) $\dfrac{5}{6}x=\dfrac{3}{2}$                                         d) $x\left( x+\dfrac{11}{4} \right)=0$
             e) $2+\dfrac{19}{5}:(3x)=\dfrac{11}{3}$                     f) $\dfrac{x+2016}{5}-\dfrac{x+2016}{3}=\dfrac{x}{2}+1008$
             Giải:
             a) $x-\dfrac{12}{5}=1\Rightarrow x=1+\dfrac{12}{5}\Rightarrow x=\dfrac{5}{5}+\dfrac{12}{5}\Rightarrow x=\dfrac{5+12}{5}\Rightarrow x=\dfrac{17}{5}$
             Kết luận: $x=\dfrac{17}{5}$.
             b) $1-\left( x+\dfrac{2}{7} \right)=\dfrac{5}{7}\Rightarrow x+\dfrac{2}{7}=1-\dfrac{5}{7}\Rightarrow x=1-\dfrac{5}{7}-\dfrac{2}{7}$
             $\Rightarrow x=1-\left( \dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7} \right)\Rightarrow x=1-1\Rightarrow x=0$
             Kết luận: $x=0$.
             c) $\dfrac{5}{6}x=\dfrac{3}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}:\dfrac{5}{6}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}.\dfrac{6}{5}\Rightarrow x=\dfrac{3.6}{2.5}\Rightarrow x=\dfrac{9}{5}$
             Kết luận: $x=\dfrac{9}{5}$
             d) $x\left( x+\dfrac{11}{4} \right)=0\Rightarrow x=0$hoặc$x+\dfrac{11}{4}=0$$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-\dfrac{11}{4}$
             Kết luận: $x=0$hoặc $x=-\dfrac{11}{4}$.
             e) $2+\dfrac{19}{5}:(3x)=\dfrac{11}{3}\Rightarrow \dfrac{19}{5}:\left( 3x \right)=\dfrac{11}{3}-2\Rightarrow \dfrac{19}{5}:\left( 3x \right)=\dfrac{11}{3}-\dfrac{6}{3}$
             $\Rightarrow \dfrac{19}{5}:\left( 3x \right)=\dfrac{11-6}{3}\Rightarrow \dfrac{19}{5}:\left( 3x \right)=\dfrac{5}{3}\Rightarrow 3x=\dfrac{19}{5}:\dfrac{5}{3}\Rightarrow 3x=\dfrac{19}{5}.\dfrac{3}{5}\Rightarrow 3x=\dfrac{19.3}{5.5}$
             $\Rightarrow 3x=\dfrac{57}{25}\Rightarrow x=\dfrac{57}{25}:3\Rightarrow x=\dfrac{57}{25}.\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{19}{25}$
             Kết luận: $x=\dfrac{19}{25}$.
             f) $\dfrac{x+2016}{5}-\dfrac{x+2016}{3}=\dfrac{x}{2}+1008\Rightarrow \left( x+2016 \right).\dfrac{1}{5}-\left( x+2016 \right).\dfrac{1}{3}=\left( x+2016 \right).\dfrac{1}{2}$
             $\Rightarrow \left( x+2016 \right).\left( \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3} \right)-\left( x+2016 \right).\dfrac{1}{2}=0$
             $\Rightarrow \left( x+2016 \right).\left( \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \right)=0$. Dễ thấy $\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\ne 0$ nên $x+2016=0$hay $x=-2016$.
             Kết luận: $x=-2016$
             Lưu ý: Trong câu này nhiều học sinh nhằm
             $\dfrac{x+2016}{5}-\dfrac{x+2016}{3}=\left( x+2016 \right):5-\left( x+2016 \right):3=\left( x+2016 \right):\left( 5-3 \right)$.
             Dẫn đến tìm sai kết quả. * Phương pháp giải: Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính chất đặc trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính.
Bước 1. Ở ví dụ bên, ta thấy các giá trị ở tử không thay đổi và chúng đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu.
Mỗi số hạng đều có dạng $\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)}$
Do đó ta thực hiện tách các số hạng của tổng S theo công thức $\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
Bước 2. Vì tổng sau khi tách có đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối nhau, nên ta dùng tính chất kết hợp để nhóm các số hạng. Khi đó các số hạng trong tổng được khử liên tiếp đến khi trong tổng chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối.
Tổng quát: Nếu trong tổng xuất hiện các số hạng dạng $\dfrac{k}{n\left( n+k \right)}$ thì ta tách các số hạng theo công thức sau: $\dfrac{k}{n\left( n+k \right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}$.
Ví dụ. Tính:
a/ $S=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2019.2020}$
b/$A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{19.21}$
c/ $B=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{99.98}-\dfrac{1}{98.97}-\dfrac{1}{97.96}.-...-\dfrac{1}{3.2}-\dfrac{1}{2.1}$
Hướng dẫn giải
a/ $S=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2019.2020}$
Bước 1. Tách mỗi số hạng của tổng

 $\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}; $
$\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}; $
$... $
$\dfrac{1}{2019.2020}=\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}. $

Bước 2. Áp dụng tính chất kết hợp, nhóm các số hạng:

 $S=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020} $
$S=1+\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \right)+\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3} \right)+...+\left( \dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2019} \right)-\dfrac{1}{2020} $
$S=1-\dfrac{1}{2020}=\dfrac{2019}{2020} $

b/$A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{19.21}$

 $A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{19.21}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{19.21} \right) $
$\ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{2}\left[ \left( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right)+\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \right)+\left( \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7} \right)+...+\left( \dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{21} \right) \right] $
$\ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{2}\left[ 1+\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3} \right)+\left( \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5} \right)+...+\left( \dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{19} \right)-\dfrac{1}{21} \right]=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{21} \right)=\dfrac{10}{21} $

Vậy $A=\dfrac{10}{21}$.
c/ $B=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{99.98}-\dfrac{1}{98.97}-\dfrac{1}{97.96}.-...-\dfrac{1}{3.2}-\dfrac{1}{2.1}$

 $B=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{99.98}-\dfrac{1}{98.97}-\dfrac{1}{97.96}.-...-\dfrac{1}{3.2}-\dfrac{1}{2.1}=\dfrac{1}{99}-\left( \dfrac{1}{99.98}+\dfrac{1}{98.97}+\dfrac{1}{97.96}+...+\dfrac{1}{3.2}+\dfrac{1}{2.1} \right) $
$\ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{99}-\left( \dfrac{1}{2.1}+\dfrac{1}{3.2}+...+\dfrac{1}{97.96}+\dfrac{1}{98.97}+\dfrac{1}{99.98} \right) $
$\ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{99}-\left( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{96}-\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{98}+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99} \right) $

$=\dfrac{1}{99}-\left( 1+\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \right)+\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3} \right)+...+\left( \dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{98} \right)-\dfrac{1}{99} \right)=\dfrac{1}{99}-\left( 1-\dfrac{1}{99} \right)=\dfrac{1}{99}-\dfrac{98}{99}=\dfrac{-97}{99}$
Vậy $B=\dfrac{-97}{99}$
  * Phương pháp giải
A. Chỉ có cộng , trừ
Ta sử dụng quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế khác.
Bước 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế
Bước 2. Thực hiện tính toán để tìm x.
Bước 3. Kết luận.
Ta có: $a+x=b\Rightarrow x=b-a$
$a-x=b\Rightarrow x=a-b$
$x-a=b\Rightarrow x=a+b$
Ví dụ. Tìm x, biết
a)$\dfrac{16}{5}-x=\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{10}$
b) $\dfrac{1}{20}-\left( x-\dfrac{8}{5} \right)=\dfrac{1}{10};$
c) $\dfrac{11}{12}-\left( \dfrac{2}{5}+x \right)=\dfrac{2}{3}$
Hướng dẫn giải
a)$\dfrac{16}{5}-x=\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{10}$
Ta có: $\dfrac{16}{5}-x=\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{10}\Rightarrow x=\dfrac{16}{5}-\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{10}$
$x=\dfrac{12}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{24}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{27}{10}$
Vậy $x=\dfrac{27}{10}$
$b)\ \dfrac{1}{20}-\left(x-\dfrac85\right)=\dfrac{1}{10}$
$ x-\dfrac85=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{10}$
$x-\dfrac{8}{5}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{2}{20}$
$ x-\dfrac{8}{5}=\dfrac{-1}{20}$
$ x=\dfrac{8}{5}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{32}{20}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{31}{20}$
Vậy $x=\dfrac{31}{20}$
c)$\dfrac{11}{12}-\left( \dfrac{2}{5}+x \right)=\dfrac{2}{3}$
 $\dfrac{2}{5}+x=\dfrac{11}{12}-\dfrac{2}{3}$
 $x=\dfrac{11}{12}-\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{3}$
 $x=\dfrac{55}{60}-\dfrac{24}{60}-\dfrac{40}{60}=\dfrac{55-24-40}{60}=\dfrac{-9}{60}=\dfrac{-3}{20}$
Vậy $x=\dfrac{-3}{20}$
B. Có nhân, chia:
*) Phương pháp giải
Với bài toán tìm x, ta thường làm như sau:
Bước 1. Ta xác định vai trò và tính chất của x trong đẳng thức hoặc điều kiện ở đề bài.
Bước 2. Sử dụng các quy tắc và tính chất đã biết về phép tính số hữu tỉ để tìm x.
Chú ý: Ta thường sử dụng quy tắc và tính chất sau để biến đổi tìm x.
Quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế khác.
Sử dụng các tính chất các phép tính nhân, chia các số hữu tỉ.
Sử dụng tính chất tích hai số bằng 0 thì một trong hai số đó bằng 0. Ví dụ 1. Tìm x biết:
a) $\dfrac{5}{8}:x=\dfrac{-5}{4}$
b) $x:\dfrac{5}{7}=-\dfrac{21}{20}$
c) $\dfrac{4}{5}.x=\dfrac{-4}{15}$
d) $x.\dfrac{-7}{15}=-\dfrac{21}{45}$
Hướng dẫn giải
a) $\dfrac{5}{8}:x=\dfrac{-5}{4}$
Bước 1. x đóng vai trò là số chia.
Bước 2. $\dfrac{5}{8}:x=\dfrac{-5}{4}\Rightarrow x=\dfrac{5}{8}:\dfrac{-5}{4}=\dfrac{5}{8}.\dfrac{4}{-5}=\dfrac{-1}{2}$.
Vậy $x=\dfrac{-1}{2}$
b) $x:\dfrac{5}{7}=-\dfrac{21}{20}$( x đóng vai trò là số bị chia.)
$x:\dfrac{5}{7}=-\dfrac{21}{20}\Rightarrow x=\dfrac{-21}{20}.\dfrac{5}{7}\Rightarrow x=\dfrac{-3}{4}$
c) $\dfrac{4}{5}.x=\dfrac{-4}{15}\Rightarrow x=\dfrac{-4}{15}:\dfrac{4}{5}\Rightarrow x=\dfrac{-4}{15}.\dfrac{5}{4}\Rightarrow x=\dfrac{-1}{3}$
d) $x.\dfrac{-7}{15}=-\dfrac{21}{45}\Rightarrow x=-\dfrac{21}{45}:\dfrac{-7}{15}\Rightarrow x=-\dfrac{21}{45}.\dfrac{-15}{7}\Rightarrow x=\dfrac{3}{3}\Rightarrow x=1$
Ví dụ 2. Tìm x biết:
a) $x:1\dfrac{5}{7}=-\dfrac{21}{48}$
b) $\dfrac{7}{5}:x=-3,5$
c) $(-0,8).x=2\dfrac{2}{5}$
d) $x.(-1,4)=\dfrac{21}{40}$
Lời giải
a) $x:1\dfrac{5}{7}=-\dfrac{21}{48}\Rightarrow x:\dfrac{12}{7}=-\dfrac{21}{48}\Rightarrow x=\dfrac{-21}{48}.\dfrac{12}{7}\Rightarrow x=\dfrac{-3}{4}.\dfrac{1}{1}\Rightarrow x=\dfrac{-3}{4}$
b) $\dfrac{7}{5}:x=-3,5\Rightarrow x=\dfrac{7}{5}:\dfrac{-35}{10}\Rightarrow x=\dfrac{7}{5}.\dfrac{-10}{35}\Rightarrow x=\dfrac{1}{1}.\dfrac{-2}{5}\Rightarrow x=\dfrac{-2}{5}$
c) $(-0,8).x=2\dfrac{2}{5}\Rightarrow \dfrac{-4}{5}.x=\dfrac{12}{5}\Rightarrow x=\dfrac{12}{5}:\dfrac{-4}{5}\Rightarrow x=\dfrac{12}{5}.\dfrac{-5}{4}\Rightarrow x=-3$
d) $x.(-1,4)=\dfrac{21}{40}\Rightarrow x.\dfrac{-14}{10}=\dfrac{21}{40}\Rightarrow x=\dfrac{21}{40}\dfrac{-14}{10}\Rightarrow x=\dfrac{21}{40} \dfrac{-10}{14}\Rightarrow x=\dfrac{3}{4} \dfrac{-1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{-3}{8} $
Ví dụ 3. Tìm x biết:  $\dfrac{2}{5}x+\dfrac{5}{7}=\dfrac{3}{10}$
Lời giải
$\dfrac{2}{5}x+\dfrac{5}{7}=\dfrac{3}{10}$

 $\dfrac{2}{5}x=\dfrac{3}{10}-\dfrac{5}{7} $
$\dfrac{2}{5}x=\dfrac{21}{70}-\dfrac{50}{70} $
$\dfrac{2}{5}x=\dfrac{-29}{70} $
$x=\dfrac{-29}{70}:\dfrac{2}{5} $
$x=\dfrac{-29}{28} $ * Phương pháp giải
Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị nguyên, ta thường làm như sau:
Bước 1. Tách phần nguyên.
Tách tử theo mẫu sao cho A có dạng tổng của một số nguyên và một phân số có tử nguyên.
Bước 2. Tìm x.
Vận dụng tính chất sau: $A=\dfrac{m}{n}$ với $m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0$
Để A nhận giá trị nguyên thì $m\vdots n$ hay $n\in \ \text{¦}\left( m \right)$.
Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận.
Ví dụ: Với $x\ne -1$, tìm $x\in \mathbb{Z}$ để $A=\dfrac{2x-1}{x+1}$ nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn giải
Bước 1. Tách phần nguyên.
$A=\dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{2\left( x+1 \right)-3}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}$
Bước 2. Để A là số nguyên thì $x+1$ là ước của 3.
Suy ra $x+1\in \left\{ -1;1;-3;3 \right\}$

$x+1$	$-3$	$-1$	1	3
x	$-4$	$-2$	0	2

Bước 3.
Các giá trị của x đều nguyên và khác $-1$.
Vậy $x\in \left\{ 0;-2;-4;2 \right\}$ thì A nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Tìm x nguyên để biểu thức $P=\dfrac{2}{2x-1}$ nhận giá trị nguyên
Lời giải
P nhận giá trị nguyên khi $2x-1$ là ước của 2. Suy ra $2x-1\in \left\{ -2;-1;1;2 \right\}$
Ta có bảng sau:

$2x-1$	$-2$	$-1$	1	2
x	$-\dfrac{1}{2}$	0	1	$\dfrac{3}{2}$

Vì x nguyên nên $x\in \left\{ 0;1 \right\}$.
Vậy $x\in \left\{ 0;1 \right\}$ thì P nhận giá trị nguyên.