Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán về số thập phân vô hạn tuần hoàn này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!

💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Để giải dạng toán tìm chữ số ở vị trí thứ $n$ sau dấu phẩy, các em cần làm theo 3 bước:
1. Chuyển phân số sang số thập phân: Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số để tìm chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn.
2. Xác định độ dài chu kỳ: Đếm xem chu kỳ (phần lặp lại trong ngoặc) có bao nhiêu chữ số. Gọi độ dài đó là $k$.
3. Thực hiện phép chia vị trí: Lấy vị trí thứ $n$ đề bài yêu cầu chia cho độ dài chu kỳ $k$.
Nếu phép chia có số dư là $r$ ($r \neq 0$), thì chữ số cần tìm là chữ số ở vị trí thứ $r$ trong chu kỳ.
Nếu phép chia hết (số dư bằng $0$), thì chữ số cần tìm là chữ số cuối cùng của chu kỳ.

💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a) Ta lấy $1 : 9 = 0,111...$ viết gọn là $0,(1)$.
Chu kỳ ở đây chỉ có một chữ số là $\{1\}$, nên độ dài chu kỳ $k = 1$.
Mọi vị trí sau dấu phẩy đều là chữ số $1$. Vậy chữ số thứ 200 chắc chắn là số $1$.
Câu b) Ta thực hiện phép chia $2 : 11 = 0,181818...$ viết gọn là $0,(18)$.
Chu kỳ là $\{1; 8\}$, độ dài chu kỳ $k = 2$.
Lấy vị trí thứ 150 chia cho 2: $150 : 2 = 75$ (chia hết, dư $0$).
Vì chia hết nên chữ số đó phải là chữ số cuối cùng trong chu kỳ $\{1; 8\}$, tức là số $8$.
Câu c) Ta thực hiện phép chia $3 : 13 = 0,230769230769...$ viết gọn là $0,(230769)$.
Chu kỳ gồm các số $\{2; 3; 0; 7; 6; 9\}$, độ dài chu kỳ $k = 6$.
Lấy vị trí thứ 100 chia cho 6: $100 = 6 . 16 + 4$. Vậy số dư là $4$.
Chữ số thứ 100 ứng với chữ số thứ 4 trong chu kỳ. Đếm từ trái sang phải: $2(1), 3(2), 0(3), 7(4)$. Vậy đó là số $7$.

Câu d) Ta thực hiện phép chia $17 : 7 = 2,428571428571...$ viết gọn là $2,(428571)$.
Chu kỳ là $\{4; 2; 8; 5; 7; 1\}$, độ dài chu kỳ $k = 6$.
Lấy vị trí thứ 105 chia cho 6: $105 = 6 . 17 + 3$. Vậy số dư là $3$.
Chữ số thứ 105 ứng với chữ số thứ 3 trong chu kỳ. Đếm: $4(1), 2(2), 8(3)$. Vậy đó là số $8$.  

 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Chia sai chu kỳ: Các em cần thực hiện phép chia tay hoặc bấm máy tính cẩn thận để xác định đúng dãy số lặp lại. Ví dụ ở câu (c), nếu thiếu số $0$ trong chu kỳ $230769$ sẽ dẫn đến kết quả sai hoàn toàn.
2. Đếm sai vị trí số dư: Khi dư $r$, phải đếm từ chữ số đầu tiên bên trái của chu kỳ.
3. Nhầm lẫn số dư 0: Khi chia hết (dư 0), nhiều bạn lúng túng không biết chọn số nào. Hãy nhớ: Dư 0 là chữ số cuối cùng của chu kỳ.
4. Bao gồm cả phần nguyên: Đề bài hỏi "sau dấu phẩy", nên các em không được đếm phần số nguyên (như số 2 trong $2,(428571)$).
 

🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài tập: Tìm chữ số thứ 50 sau dấu phẩy của phân số $\frac{5}{7}$.

Lời giải nhanh:
Ta có: $\frac{5}{7} = 0,714285714285... = 0,(714285)$.
Chu kỳ có 6 chữ số: $\{7; 1; 4; 2; 8; 5\}$.
Thực hiện phép chia: $50 = 6 . 8 + 2$. Số dư là $2$.
Chữ số thứ 2 trong chu kỳ là số $1$.
Kết quả: Chữ số thứ 50 sau dấu phẩy là số 1.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!