Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc AB tại H, lấy M thuộc AB, N thuộc AC sao cho

BM = BC, CN= CH. Chứng minh rằng:

a) MN ^ AC

b) CM là đường trung trực của NH

c) AC+BC <AB+CH

a) Chứng minh MN ^ AC

rBMC có BM = BC(gt) nên rBMC cân tại B suy ra

Ta có: r MCH vuông tại H nên:

Mà

suy ra

Xét rMHC và r MNC ta có:

CH = CN (gt)

(cmt)

CM là cạnh chung

Vậy rMHC = rMNC (c.g.c),

do đó  (2 góc tương ứng)

mà (do CH ^ BC tại H) Þ , vậy MN ^ AC tại N.

b) Chứng minh CM là đường trung trực của NH

Ta có rMHC = rMNC (cmt) Þ MN = MH (2 cạnh tương ứng)

Suy ra M thuộc đường trung trực của NH (tính chất điểm cách đều 2 đầu một đoạn thẳng)

Mà CN= CH (gt) Þ C thuộc đường trung trực của NH

Do đó CM là đường trung trực của NH.

c) Chứng minh AC+BC <AB+CH

Ta có: BM = BC, CN= CH (gt)

rANM vuông tại N (do MN ^ AC tại N) nên cạnh huyền AM là cạnh lớn nhất Þ MA > NA .

Do đó: BM + MA + CH > BC + CN + NA mà BM + MA = AB; CN + NA = CA

Suy ra AB + CH > BC + CA.

Từ kết quả trên, các em có thêm cách để chứng minh: Trong một tam giác vuông, tổng độ dài hai cạnh góc vuông nhỏ hơn tổng độ dài cạnh huyền và đường vuông góc kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.