Bài 7 (2,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có các đường trung tuyến $AM$ và $BN$.

a) Chứng minh:$\Delta AMB=\Delta AMC$

b) Chứng minh $AM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$

c)Trên tia dối của tia $NB$ lấy điểm $E$ sao cho $NB=NE$ . Trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $F$ sao cho $CA=CF$. Gọi $K$ là trung điểm của $BF$. Chứng minh: ba điểm $C,\ E,\ K$ thẳng hàng.

a) Chứng minh: AMB = AMC

ABC có các đường trung tuyến $AM$ nên M là trung điểm BC MB = MC

Xét  $\triangle$ AMB và $\triangle$ AMC ta có:

MB = MC (cmt)

MA là cạnh chung

AB = AC ( do ABC cân tại A)

Vậy AMB = AMC (c-c-c)

b) Chứng minh $AM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$

Ta có AB = AC ( do ABC cân tại A)

A nằm trên đường trung trực của BC

MB = MC (cmt) M nằm trên đường trung trực của BC

Suy ra AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

c) Chứng minh: ba điểm C, E, K

thẳng hàng

ABC có các đường trung tuyến BN nên N là trung điểm AC NA = NC $NC=\dfrac{AC}{2}$

Mà AC = CF nên $NC=\dfrac{CF}{2}$; CA, CF là 2 tia đối nên C,N AF

NB, NE là 2 tia đối và NB = NE nên N là trung điểm BE

BEF có trung tuyến FN (N là trung điểm BE) có điểm C NF và $NC=\dfrac{CF}{2}$suy ra C là trọng tâm của BEF, mà EK là đường trung tuyến (K là trung điểm BF) nên EK đi qua trọng tâm C hay ba điểm C, E, K thẳng hàng.