Đây là một bài toán tìm $x$ khá thú vị thuộc chương số hữu tỉ, vận dụng linh hoạt các kiến thức về dãy số viết theo quy luật (tổng phân số rút gọn - hay còn gọi là Telescoping Sum).
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ

Để giải bài toán này, các em cần nắm vững các công thức sau:
1. Công thức tách phân số: $\displaystyle \frac{k}{n.(n+k)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}$.
Ví dụ: $\displaystyle \frac{3}{5.8} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8}$. Nếu tử số không bằng hiệu dưới mẫu, ta phải biến đổi tử số.
2. Quy tắc đổi hỗn số sang phân số: $\displaystyle a\frac{b}{c} = \frac{a.c + b}{c}$.
3. Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu số hạng đó.
4. Rút gọn phân số lớn: Nhận diện các số lặp lại như $1111 = 11 . 101$, $3535 = 35 . 101$.

 💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)

Câu a: Các em để ý mẫu số của các phân số: $8-5=3$, $11-8=3$. Hiệu là 3 nhưng tử số là 15. Vì $15 = 5 . 3$ nên ta sẽ đặt số 5 ra ngoài làm nhân tử chung, bên trong sẽ xuất hiện hiệu chuẩn là 3. Sau đó ta áp dụng công thức tách để các phân số ở giữa triệt tiêu nhau, chỉ còn số đầu và số cuối.
Câu b: Trong ngoặc có các phân số khá lớn. Đừng vội quy đồng nhé! Hãy quan sát: $\displaystyle \frac{1111}{3535} = \frac{11 . 101}{35 . 101} = \frac{11}{35}$. Tương tự $\displaystyle \frac{111111}{636363} = \frac{11}{63}$. Sau đó ta đưa 11 ra ngoài, bên trong là tổng các phân số có mẫu là tích cách nhau 2 đơn vị: $3 . 5; 5 . 7; 7 . 9$.
Câu c: Mẫu số cách nhau 3 đơn vị ($4-1=3$). Ta nhân cả hai vế với 3 (hoặc đưa $\displaystyle \frac{1}{3}$ ra ngoài) để tử số xuất hiện đúng số 3, từ đó tách được thành hiệu. Giải phương trình tìm $x$ và đối chiếu điều kiện số tự nhiên khác 0.
 ⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

1. Quên nhân hệ số bổ sung: Ở câu a, nhiều em quên tách 15 thành $5 . 3$ nên khi phá ngoặc kết quả bị sai gấp 5 lần.
2. Sai dấu khi phá ngoặc: Ở câu a, dãy phân số mang dấu âm đứng sau dấu trừ, nếu các em không đặt ngoặc nhóm chúng lại sẽ rất dễ nhầm dấu từng số hạng.
3. Tính toán phân số: Nhầm lẫn khi nhân nghịch đảo ở phép chia trong câu b ($ : \frac{11}{9}$ phải thành $ . \frac{9}{11}$).
4. Điều kiện: Quên không đối chiếu $x$ tìm được với điều kiện đề bài cho (như $x \in \mathbb{N}^*$).

🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Đề bài: Tìm $x$ biết: $\frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \dots + \frac{2}{(2x+1)(2x+3)} = \frac{10}{33}$ (với $x \in \mathbb{N}^*$)

Lời giải nhanh:
Vế trái là tổng dãy quy luật:
$\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2x+1} - \frac{1}{2x+3} \right) = \frac{10}{33}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{2x+3} = \frac{10}{33}$
$\frac{1}{2x+3} = \frac{1}{3} - \frac{10}{33} = \frac{11}{33} - \frac{10}{33} = \frac{1}{33}$
$\Rightarrow 2x + 3 = 33$
$\Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15$ (Thỏa mãn $x \in \mathbb{N}^*$).
Kết quả: $x = 15$.

Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!