Câu 5(2,5 điểm) Cho rABC có có và AB = AC. Gọi K là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: rABK = rACK

b) Vẽ KM vuông góc AB tại M. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = AM. Chứng minh: KN^AC. c) Gọi I là giao điểm của hai tia AC, MK. Đường thẳng qua I song song với BC cắt tỉa AB tại H. Chứng minh rằng N, K, H thẳng hàng.

a) Chứng minh: rABK = rACK

Xét rABK và rACK ta có:

AB = AC (gt)

AK là cạnh chung

BK = CK (do K là trung điểm của BC)

Suy ra rABK = rACK (c.c.c)

Þ (2 góc tương ứng)

b) Chứng minh: KN^AC

Xét rAMK và rANK ta có:

AM = AN (gt)

(cmt)

AK là cạnh chung

Suy ra rAMK = rANK (c.g.c)

Þ (2 góc tương ứng)

Mà (do KM ^ AB tại M) nên Þ KN^AC tại N

c) Chứng minh rằng N, K, H thẳng hàng

Ta có rABK = rACK (cmt) Þ (2 góc tương ứng)

Mà ( 2 góc kề bù) Þ  nên AK ^ BC

Lại có IH // BC (gt) nên AK ^ IH. Cho AK cắt HI tại D Þ AD là đường cao của rAHI

rAHI có 2 đường cao IM (KM ^ AB) và AD  cắt nhau tại K Þ K là trực tâm  của rAHI. Vì K là trực tâm của rAHI nên đường thẳng đi qua đỉnh H và K phải vuông góc với cạnh đối diện AI (tức đường thẳng AC) Þ HK ^ AI

Mà KN ^ AC (cmt) Suy ra N, K, H thẳng hàng