Cho đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$ và $14a + 3c > 0$. Chứng minh rằng trong ba số $P(1); P(2); P(-3)$ có ít nhất một số dương.

Phương pháp giải

Để chứng minh trong một tập hợp các số có "ít nhất một số dương", phương pháp hiệu quả nhất là xét tổng của các giá trị đó.

Nếu ta chứng minh được một tổng dạng P(1) + P(2) + P(-3) > 0$  thì chắc chắn không thể xảy ra trường hợp cả ba số đều nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Lời giải 

Với $x = 1$ ta có: $P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$

Với $x = 2$ ta có: $P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$

Với $x = -3$ ta có: $P(-3) = a(-3)^2 + b(-3) + c = 9a - 3b + c$

Cộng vế theo vế ta được: (Đây là phần quan trọng: các em có nhìn ra được b + 2b + (-3b) = 0 thì giỏi rồi đó)

$P(1) + P(2) + P(-3)   = ( a + b + c) + (4a + 2b + c) + (9a - 3b + c) $

$P(1) + P(2) + P(-3)= a + 4a + 9a + b + 2b - 3b + c + c + c$

$P(1) + P(2) + P(-3)= 14a + 3c$

Theo giả thiết $14a + 3c > 0$ nên $P(1) + P(2) + P(-3)  > 0$

​​​​​​​Vì tổng của ba số là một số dương, nên không thể xảy ra trường hợp cả ba số đều nhỏ hơn hoặc bằng 0 (vì nếu tất cả đều $\le 0$ thì tổng của chúng phải $\le 0$).

Vậy trong ba số $P(1); P(2); P(-3)$ phải có ít nhất một số dương