HK2 hình học - đường trung trực, quan hệ góc và cạnh đối diện
Bài 8: Cho ∆ABC cân tại A, trên BC lấy điểm D bất kì, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AB tại M. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại N.
a) Chứng minh rằng DM = EN
b) BC cắt MN tại I, Chúng minh I là trung điểm của MN
c) Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC
d) So sánh BC và MN
a) Chứng minh rằng DM = EN
Ta có: 
(do △ABC cân tại A)
mà 
(2 góc đối đỉnh) Þ 
Xét △BDM vuông tại D và △CEN vuông tại E, ta có
BD = CE (gt) ; 
(cmt)
Vậy △BDM=△CEN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Þ DM = EN (2 cạnh tương ứng)
b) BC cắt MN tại I, Chúng minh I là trung điểm của MN 
Ta có DM ^ BC, EN ^ BC suy ra DM // EN
Þ 
(2 góc soletrong)
Xét △DMI vuông tại D và △ENI vuông tại E, ta có
DM = EN (cmt)
(cmt)
Vậy △DMI=△ENI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Þ MI = NI (2 cạnh tương ứng) mà I Î MN Þ I là trung điểm MN
c) Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC
Cho H là trung điểm BC. Gọi S là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN tại I
Ta có I là trung điểm MN (cmt), mà MN ^ IS tại I Þ IS là đường trung trực của MN Þ SM = SN
Ta có AB = AC (do rABC cân tại A) Þ A nằm trêm đường trung trực của BC mà H là trung điểm BC
Þ AH là đường trung trực của BC, S Î AH Þ SB = SC
Xét △SBM và △SCN, ta có:
SB = SC (cmt)
SM = SN (cmt)
BM = CN (2 cạnh tương ứng của △BDM=△CEN)
Vậy △SBM = △SCN (c.c.c) Þ 
(1)(2 góc tương ứng) 
Xét △SBA và △SCA, ta có:
SB = SC (cmt)
AB = AC (cmt)
AS là cạnh cung
Vậy △SBA = △SCA (c.c.c) Þ 
(2 góc tương ứng) kết hợp (1) ta được
mà 
(2 góc kề bù) Þ 
Do đó SC ^ AC. Vì điểm S là cố định (giao của trung trực AH và rABC không đổi), nên đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua điểm S cố định.
d) So sánh BC và MN
Ta có: BD = CE (gt)
Do đó BC = DC + BD = DC + CE = DE (do D, E, B, C thẳng hàng)
rMDI vuông tại I, cạnh huyền MI là cạnh lớn nhất nên MI > DI
rNEI vuông tại E, cạnh huyền NI là cạnh lớn nhất nên NI > EI
Suy ra MN = MI + IN > ID + IE = DE
Mà BC = DE (cmt) do đó MN > BC