Câu 20. Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC) có AD là đường trung tuyến (D thuộc BC).

a) Chứng minh △ABD = △ACD.

b) Gọi H và F lần lượt là trung điểm của cạnh DC và AB. Qua H về đường thẳng vuông góc với cạnh DC và cắt cạnh AC tại E. Chứng minh DE = EC.

c) AD cắt BE tại G. Chứng minh BG = 2GF

a) Chứng minh △ABD = △ACD

△ABC có AD là đường trung tuyến (D Î BC) ⇒ D là trung điểm BC ⇒ BD = DC

Xét rABD và rACD ta có:

AB = AC (rABC cân tại A)

AD là cạnh chung

BD = DC (cmt)

Suy ra rABD = rACD (c.c.c)

b) Chứng minh DE = EC

Vì HE ⊥ DC tại H mà H là trung điểm của cạnh DC suy ra HE là đường trung trực của đoạn thẳng DC.

Vậy DE = EC

c) Chứng minh BG = 2GF

Do AB = AC (cmt) Þ A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC
mà D là trung điểm BC (cmt) Þ Suy ra AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC Þ AD ^ BC tại D

⇒ △ADC vuông tại D nên $\widehat{DAE}+\widehat{DCE}=90{}^\circ$

△DEC có DE = EC (cmt) ⇒ △DEC cân tại E, suy ra $\widehat{EDC}=\widehat{DCE}$

Ta lại có: $\widehat{ADE}+\widehat{EDC}=\widehat{ADC}=90{}^\circ$suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{DAE}$

△AED có $\widehat{ADE}=\widehat{DAE}$(cmt) ⇒ △AED cân tại E nên EA = DE mà  DE = EC (cmt) suy ra EA = EC mà E Î AC nên E là trung điểm AC.

△ABC có trung tuyến AD( gt) và trung tuyến BE (E là trung điểm AC) cắt nhau tại G Þ G là trọng tâm của rABC, mà F là trung điểm của cạnh AB nên CF là đường trung tuyến thứ 3, suy ra CG = 2GF (tính chất trọng tâm)

Mà AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC, G Î AD nên BG = CG

Do đó BG = 2GF