Lời giải 

Ta có: $a > 2$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$
💡 Giải thích: Khi so sánh hai phân số có cùng tử số là $1$, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó sẽ nhỏ hơn. Vì $a > 2$ nên chắc chắn $\frac{1}{a}$ phải nhỏ hơn $\frac{1}{2}$.

$b > 2 \Rightarrow \frac{1}{b} < \frac{1}{2}$

Cộng vế theo vế, ta được:

Suy ra: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$
vì $a > 2, b > 2$ nên $ab > 0$

quy đồng mẫu số ở vế trái với mẫu số chung là $ab$ :

$\Rightarrow a + b < ab$

Vậy $ab > a + b$ 

💡 Cách tiếp cận khác (Xét hiệu - Cách của bạn Bảo Ngọc)

Lời giải:
Ta sẽ xét hiệu: $ab - (a + b) = ab - a - b$

$ab - a - b + 1 - 1 = a(b - 1) - (b - 1) - 1 = (a - 1)(b - 1) - 1$
Vì $a > 2 \Rightarrow a - 1 > 1$
Vì $b > 2 \Rightarrow b - 1 > 1$
Suy ra: $(a - 1)(b - 1) > 1 . 1 = 1$
Do $(a - 1)(b - 1) > 1$ nên $(a - 1)(b - 1) - 1 > 0$
Vậy $ab > a + b$ 

Lời giải
Vì: $0 \le a \le b + 1 \le c + 2$ nên
$0 \le a \le c + 2$
$0 \le b + 1 \le c + 2$
$0 \le c + 2 \le c + 2$
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên, ta được:
$0 \le a + b + 1 + c + 2 \le c + 2 + c + 2 + c + 2$
$\Rightarrow 0 \le 4 \le 3c + 6$ (vì $a + b + c = 1$)
Suy ra $3c \ge 4 - 6 \Rightarrow 3c \ge -2 \Rightarrow c \ge \frac{-2}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi  $c = \frac{-2}{3}$ 

$c = -\frac{2}{3}$ $\Rightarrow$ $c + 2 = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} $

$a = c + 2$ $\Rightarrow$ $a = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$

$b + 1= c + 2$ $\Rightarrow$ $b = c + 1$ $\Rightarrow$ $b = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$

Tổng: $a + b + c = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1$ (Thỏa mãn)

Thay a,b,c vào $0 \le a \le b + 1 \le c + 2$

$0 \le \frac{4}{3} \le \frac{1}{3} +1 \le -\frac{2}{3} + 2$

$0 \le \frac{4}{3} \le \frac{4}{3} \le \frac{4}{3}$ (Luôn đúng vì $\frac{4}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$).

Giá trị nhỏ nhất của $c$ là $-\frac{2}{3}$, đạt được khi $a = \frac{4}{3}$ và $b = \frac{1}{3}$.