Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức:
Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức:
a) $\frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
b) $\frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
c) $(-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
d) $\frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
-----------
a) Tính giá trị của biểu thức: $\frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Chào các em! Đối với bài toán này, nhìn vào biểu thức có vẻ phức tạp với các số thập phân và lũy thừa. Nhưng các em đừng lo lắng nhé, Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một để làm bài này thật gọn gàng và chính xác.
Bước 1: Quan sát các cơ số. Các em thấy có $0,2$, $0,6$, $0,3$. Hãy thử xem giữa chúng có mối liên hệ nào không. À, mình thấy $0,6$ có thể chia cho $0,3$ hoặc $0,6$ có thể viết thành $3 \cdot 0,2$. Việc này sẽ giúp mình nhóm các số lại với nhau.
Bước 2: Áp dụng các quy tắc về lũy thừa. Các em hãy nhớ lại các quy tắc lũy thừa mình đã học ở lớp 7 nhé:
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (nếu $m > n$) hoặc $\frac{1}{a^{n-m}}$ (nếu $n > m$).
$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$.
Bước 3: Rút gọn và tính toán. Sau khi áp dụng các quy tắc, biểu thức sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Hãy cẩn thận khi tính toán các lũy thừa và phép nhân, chia nhé. Đặc biệt, khi có số mũ ở mẫu lớn hơn ở tử, chúng ta sẽ tách lũy thừa ở mẫu ra để rút gọn cho dễ nhìn và đúng chương trình nhé. Ví dụ $\frac{a^5}{a^7} = \frac{a^5}{a^5 \cdot a^2} = \frac{1}{a^2}$.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $A$.
$A = \frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
Để dễ tính toán và rút gọn, chúng ta sẽ nhóm các phần có cùng cơ số hoặc có thể đưa về cùng cơ số:
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^7} \cdot \frac{(0,6)^4}{(0,3)^4}$
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số cho phần đầu tiên, và quy tắc chia hai lũy thừa cùng số mũ cho phần thứ hai:
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^5 \cdot (0,2)^2} \cdot \left(\frac{0,6}{0,3}\right)^4$
Rút gọn phần đầu tiên và tính phép chia trong ngoặc:
$A = \frac{1}{(0,2)^2} \cdot (2)^4$
Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của từng phần:
$(0,2)^2 = \left(\frac{2}{10}\right)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$
$(2)^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Thay các giá trị này trở lại biểu thức $A$:
$A = \frac{1}{\frac{1}{25}} \cdot 16$
$A = 1 \cdot \frac{25}{1} \cdot 16$
$A = 25 \cdot 16$
$A = 400$
Vậy giá trị của biểu thức là $400$.
📝 Trình bày vào vở:
$A = \frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^7} \cdot \left(\frac{0,6}{0,3}\right)^4$
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^5 \cdot (0,2)^2} \cdot (2)^4$
$A = \frac{1}{(0,2)^2} \cdot 16$
$A = \frac{1}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} \cdot 16$
$A = \frac{1}{\frac{1}{25}} \cdot 16$
$A = 25 \cdot 16$
$A = 400$
b) Tính giá trị của biểu thức: $\frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Các em nhìn vào bài này có vẻ nhiều số mũ lớn, nhưng đừng lo lắng!
Bước 1: Đưa tất cả về cơ số là số nguyên tố. Đây là chìa khóa để giải quyết các bài toán lũy thừa phức tạp. Các em để ý các số $27$, $125$, $9$ không phải là số nguyên tố. Mình sẽ đổi chúng về dạng lũy thừa của các số nguyên tố như $3$ và $5$.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa. Sau khi đổi cơ số, mình sẽ gặp dạng $(a^m)^n$. Nhớ rằng $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Bước 3: Nhóm các số có cùng cơ số và rút gọn. Sau khi đã đưa về dạng lũy thừa của các số nguyên tố, các em nhóm các số hạng có cùng cơ số lại với nhau (ví dụ: các số có cơ số $5$ một nhóm, các số có cơ số $3$ một nhóm). Sau đó áp dụng quy tắc $\frac{a^m}{a^n}$ để rút gọn. Nhớ quy tắc quan trọng của lớp 7 là khi số mũ ở mẫu lớn hơn số mũ ở tử thì tách mẫu nhé! Ví dụ: $\frac{3^{21}}{3^{22}} = \frac{3^{21}}{3^{21} \cdot 3^1} = \frac{1}{3}$.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $B$.
$B = \frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
Chúng ta sẽ biến đổi các cơ số không phải là số nguyên tố về dạng lũy thừa của các số nguyên tố:
$27 = 3^3$
$125 = 5^3$
$9 = 3^2$
Thay các giá trị này vào biểu thức $B$:
$B = \frac{5^{16} \cdot (3^3)^7}{(5^3)^5 \cdot (3^2)^{11}}$
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$B = \frac{5^{16} \cdot 3^{3 \cdot 7}}{5^{3 \cdot 5} \cdot 3^{2 \cdot 11}}$
$B = \frac{5^{16} \cdot 3^{21}}{5^{15} \cdot 3^{22}}$
Bây giờ, chúng ta nhóm các lũy thừa có cùng cơ số và rút gọn:
$B = \left(\frac{5^{16}}{5^{15}}\right) \cdot \left(\frac{3^{21}}{3^{22}}\right)$
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:
Đối với cơ số $5$: $\frac{5^{16}}{5^{15}} = 5^{16-15} = 5^1 = 5$
Đối với cơ số $3$: $\frac{3^{21}}{3^{22}} = \frac{3^{21}}{3^{21} \cdot 3^1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$ (Vì số mũ ở mẫu lớn hơn số mũ ở tử)
Thay các kết quả đã rút gọn vào biểu thức $B$:
$B = 5 \cdot \frac{1}{3}$
$B = \frac{5}{3}$
Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{5}{3}$.
📝 Trình bày vào vở:
$B = \frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
$B = \frac{5^{16} \cdot (3^3)^7}{(5^3)^5 \cdot (3^2)^{11}}$
$B = \frac{5^{16} \cdot 3^{21}}{5^{15} \cdot 3^{22}}$
$B = \left(\frac{5^{16}}{5^{15}}\right) \cdot \left(\frac{3^{21}}{3^{22}}\right)$
$B = 5^{16-15} \cdot \frac{3^{21}}{3^{21} \cdot 3^1}$
$B = 5^1 \cdot \frac{1}{3^1}$
$B = 5 \cdot \frac{1}{3}$
$B = \frac{5}{3}$
c) Tính giá trị của biểu thức: $(-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Bài toán này có hai phần, một phép nhân và một phân số, nối với nhau bằng phép trừ. Mình sẽ giải quyết từng phần một nhé!
Phần 1: $(-0,2)^2 \cdot 5$
Hãy nhớ quy tắc: số âm mà có số mũ chẵn thì kết quả là số dương.
Chuyển $0,2$ về phân số để tính toán dễ hơn. $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Phần 2: $\frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
Tương tự như bài b), hãy đưa tất cả các cơ số về dạng số nguyên tố nhỏ nhất. Các em thấy $27 = 3^3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$.
Sau đó, áp dụng các quy tắc lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ và $\frac{a^m}{a^n}$ để rút gọn biểu thức. Đặc biệt lưu ý quy tắc tách lũy thừa ở mẫu khi số mũ mẫu lớn hơn tử.
Bước cuối: Thực hiện phép trừ. Sau khi đã tính được giá trị của cả hai phần, các em chỉ việc thực hiện phép trừ giữa hai kết quả đó. Cẩn thận khi quy đồng mẫu số nhé.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $C$.
$C = (-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
Tính giá trị của phần đầu tiên:
$(-0,2)^2 \cdot 5 = \left(-\frac{2}{10}\right)^2 \cdot 5$
$= \left(-\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 5$
Vì số mũ là $2$ (số chẵn), nên kết quả sẽ là số dương:
$= \frac{1}{25} \cdot 5$
$= \frac{5}{25}$
$= \frac{1}{5}$
Tính giá trị của phần phân số thứ hai:
$\frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
Biến đổi các cơ số về dạng lũy thừa của số nguyên tố: $27 = 3^3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$.
$= \frac{2^{13} \cdot (3^3)^3}{(2^2)^6 \cdot (3^2)^5}$
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$= \frac{2^{13} \cdot 3^{3 \cdot 3}}{2^{2 \cdot 6} \cdot 3^{2 \cdot 5}}$
$= \frac{2^{13} \cdot 3^9}{2^{12} \cdot 3^{10}}$
Nhóm các lũy thừa có cùng cơ số và rút gọn:
$= \left(\frac{2^{13}}{2^{12}}\right) \cdot \left(\frac{3^9}{3^{10}}\right)$
Đối với cơ số $2$: $\frac{2^{13}}{2^{12}} = 2^{13-12} = 2^1 = 2$
Đối với cơ số $3$: $\frac{3^9}{3^{10}} = \frac{3^9}{3^9 \cdot 3^1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$ (Vì số mũ ở mẫu lớn hơn số mũ ở tử)
Vậy, phần phân số có giá trị là:
$= 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Cuối cùng, thực hiện phép trừ:
$C = \frac{1}{5} - \frac{2}{3}$
Để trừ hai phân số, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của $5$ và $3$ là $15$.
$C = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$
$C = \frac{3}{15} - \frac{10}{15}$
$C = \frac{3 - 10}{15}$
$C = -\frac{7}{15}$
Vậy giá trị của biểu thức là $-\frac{7}{15}$.
📝 Trình bày vào vở:
$C = (-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
$C = \left(-\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot (3^3)^3}{(2^2)^6 \cdot (3^2)^5}$
$C = \frac{1}{25} \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 3^{9}}{2^{12} \cdot 3^{10}}$
$C = \frac{1}{5} - \left(\frac{2^{13}}{2^{12}}\right) \cdot \left(\frac{3^9}{3^{10}}\right)$
$C = \frac{1}{5} - 2^{13-12} \cdot \frac{3^9}{3^9 \cdot 3^1}$
$C = \frac{1}{5} - 2^1 \cdot \frac{1}{3^1}$
$C = \frac{1}{5} - \frac{2}{3}$
$C = \frac{3}{15} - \frac{10}{15}$
$C = -\frac{7}{15}$
d) Tính giá trị của biểu thức: $\frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Bài này trông có vẻ cồng kềnh ở tử số, nhưng các em hãy thật tinh ý một chút là sẽ tìm ra cách giải quyết rất nhanh gọn nhé!
Bước 1: Quan sát tử số và chuyển đổi cơ số. Các em thấy ở tử số có $5^6$, $25^3$, $125^2$. Mình có thể biến đổi $25$ và $125$ về dạng lũy thừa của $5$:
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$
Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa. Sau khi biến đổi cơ số, mình sẽ có dạng $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Bước 3: Tìm thừa số chung ở tử số. Sau khi biến đổi hết, các em sẽ thấy một điều thú vị là tất cả các số hạng ở tử số đều có một thừa số chung giống nhau. Hãy đặt thừa số chung đó ra ngoài nhé!
Bước 4: Rút gọn phân số. Sau khi đặt thừa số chung, các em sẽ thấy tử số và mẫu số có một thừa số chung để rút gọn. Việc này sẽ làm phân số trở nên rất đơn giản.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $D$.
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
Xét tử số: $5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2$
Chúng ta sẽ biến đổi $25$ và $125$ về dạng lũy thừa của $5$:
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$
Thay vào tử số:
$= 5^6 + 2^2 \cdot (5^2)^3 + 2^3 \cdot (5^3)^2$
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$= 5^6 + 2^2 \cdot 5^{2 \cdot 3} + 2^3 \cdot 5^{3 \cdot 2}$
$= 5^6 + 2^2 \cdot 5^6 + 2^3 \cdot 5^6$
Quan sát các số hạng, chúng ta thấy tất cả đều có chung thừa số $5^6$. Hãy đặt $5^6$ làm thừa số chung:
$= 5^6 \cdot (1 + 2^2 + 2^3)$
Tính toán giá trị trong ngoặc:
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$= 5^6 \cdot (1 + 4 + 8)$
$= 5^6 \cdot 13$
Thay tử số đã rút gọn vào biểu thức $D$:
$D = \frac{5^6 \cdot 13}{26 \cdot 5^6}$
Bây giờ, chúng ta thấy cả tử số và mẫu số đều có thừa số $5^6$. Hãy rút gọn chúng:
$D = \frac{13}{26}$
Rút gọn phân số $\frac{13}{26}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho $13$:
$D = \frac{13 \div 13}{26 \div 13} = \frac{1}{2}$
Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{1}{2}$.
📝 Trình bày vào vở:
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot (5^2)^3 + 2^3 \cdot (5^3)^2}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot 5^6 + 2^3 \cdot 5^6}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 \cdot (1 + 2^2 + 2^3)}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 \cdot (1 + 4 + 8)}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 \cdot 13}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{13}{26}$
$D = \frac{1}{2}$
---
PHẦN TỔNG KẾT VÀ LƯU Ý CUỐI BÀI:
Qua các bài toán tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa này, Thầy muốn các em ghi nhớ một số lỗi sai phổ biến mà học sinh thường hay mắc phải để mình cùng tránh nhé:
1. Chưa đưa về cùng cơ số nguyên tố: Đây là lỗi thường gặp nhất. Nhiều bạn chỉ nhìn thấy $9$ và $27$ mà chưa nghĩ đến việc chúng đều là lũy thừa của $3$, hoặc $25, 125$ là lũy thừa của $5$. Hãy luôn cố gắng đưa về cơ số là số nguyên tố để việc rút gọn trở nên dễ dàng và chính xác nhất nhé.
2. Sai khi áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: Nhớ kĩ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, không phải $a^{m+n}$ hay $a^{m^n}$. Ví dụ: $(3^3)^7 = 3^{3 \cdot 7} = 3^{21}$, chứ không phải $3^{3+7}=3^{10}$.
3. Quên quy tắc dấu khi tính lũy thừa của số âm: $(-a)^n$ sẽ là số dương nếu $n$ là số chẵn, và là số âm nếu $n$ là số lẻ. Ví dụ: $(-0,2)^2 = (0,2)^2 = 0,04$ là số dương.
4. Sử dụng số mũ âm không đúng với chương trình THCS: Khi rút gọn phân số $\frac{a^m}{a^n}$ mà $n > m$, các em cần tách mẫu thành $a^m \cdot a^{n-m}$ rồi rút gọn, tránh viết thành $a^{m-n}$ ra số mũ âm (ví dụ: $a^{-2}$) vì kiến thức này chưa được học sâu ở THCS. Hãy bám sát cách trình bày như Thầy đã hướng dẫn.
5. Sai sót trong phép tính cộng/trừ phân số: Sau khi rút gọn được các giá trị, nếu biểu thức có phép cộng/trừ phân số, các em cần quy đồng mẫu số thật cẩn thận trước khi thực hiện phép tính nhé.
6. Không tìm thừa số chung ở tử số*: Ở bài d), nếu không tinh ý nhận ra $5^6$ là thừa số chung, bài toán sẽ trở nên rất phức tạp. Hãy luôn tìm cách đặt thừa số chung hoặc nhóm các số hạng để rút gọn.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
a) $\frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
b) $\frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
c) $(-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
d) $\frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
-----------
a) Tính giá trị của biểu thức: $\frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Chào các em! Đối với bài toán này, nhìn vào biểu thức có vẻ phức tạp với các số thập phân và lũy thừa. Nhưng các em đừng lo lắng nhé, Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một để làm bài này thật gọn gàng và chính xác.
Bước 1: Quan sát các cơ số. Các em thấy có $0,2$, $0,6$, $0,3$. Hãy thử xem giữa chúng có mối liên hệ nào không. À, mình thấy $0,6$ có thể chia cho $0,3$ hoặc $0,6$ có thể viết thành $3 \cdot 0,2$. Việc này sẽ giúp mình nhóm các số lại với nhau.
Bước 2: Áp dụng các quy tắc về lũy thừa. Các em hãy nhớ lại các quy tắc lũy thừa mình đã học ở lớp 7 nhé:
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (nếu $m > n$) hoặc $\frac{1}{a^{n-m}}$ (nếu $n > m$).
$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$.
Bước 3: Rút gọn và tính toán. Sau khi áp dụng các quy tắc, biểu thức sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Hãy cẩn thận khi tính toán các lũy thừa và phép nhân, chia nhé. Đặc biệt, khi có số mũ ở mẫu lớn hơn ở tử, chúng ta sẽ tách lũy thừa ở mẫu ra để rút gọn cho dễ nhìn và đúng chương trình nhé. Ví dụ $\frac{a^5}{a^7} = \frac{a^5}{a^5 \cdot a^2} = \frac{1}{a^2}$.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $A$.
$A = \frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
Để dễ tính toán và rút gọn, chúng ta sẽ nhóm các phần có cùng cơ số hoặc có thể đưa về cùng cơ số:
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^7} \cdot \frac{(0,6)^4}{(0,3)^4}$
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số cho phần đầu tiên, và quy tắc chia hai lũy thừa cùng số mũ cho phần thứ hai:
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^5 \cdot (0,2)^2} \cdot \left(\frac{0,6}{0,3}\right)^4$
Rút gọn phần đầu tiên và tính phép chia trong ngoặc:
$A = \frac{1}{(0,2)^2} \cdot (2)^4$
Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của từng phần:
$(0,2)^2 = \left(\frac{2}{10}\right)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$
$(2)^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Thay các giá trị này trở lại biểu thức $A$:
$A = \frac{1}{\frac{1}{25}} \cdot 16$
$A = 1 \cdot \frac{25}{1} \cdot 16$
$A = 25 \cdot 16$
$A = 400$
Vậy giá trị của biểu thức là $400$.
📝 Trình bày vào vở:
$A = \frac{(0,2)^5 \cdot (0,6)^4}{(0,2)^7 \cdot (0,3)^4}$
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^7} \cdot \left(\frac{0,6}{0,3}\right)^4$
$A = \frac{(0,2)^5}{(0,2)^5 \cdot (0,2)^2} \cdot (2)^4$
$A = \frac{1}{(0,2)^2} \cdot 16$
$A = \frac{1}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} \cdot 16$
$A = \frac{1}{\frac{1}{25}} \cdot 16$
$A = 25 \cdot 16$
$A = 400$
b) Tính giá trị của biểu thức: $\frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Các em nhìn vào bài này có vẻ nhiều số mũ lớn, nhưng đừng lo lắng!
Bước 1: Đưa tất cả về cơ số là số nguyên tố. Đây là chìa khóa để giải quyết các bài toán lũy thừa phức tạp. Các em để ý các số $27$, $125$, $9$ không phải là số nguyên tố. Mình sẽ đổi chúng về dạng lũy thừa của các số nguyên tố như $3$ và $5$.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa. Sau khi đổi cơ số, mình sẽ gặp dạng $(a^m)^n$. Nhớ rằng $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Bước 3: Nhóm các số có cùng cơ số và rút gọn. Sau khi đã đưa về dạng lũy thừa của các số nguyên tố, các em nhóm các số hạng có cùng cơ số lại với nhau (ví dụ: các số có cơ số $5$ một nhóm, các số có cơ số $3$ một nhóm). Sau đó áp dụng quy tắc $\frac{a^m}{a^n}$ để rút gọn. Nhớ quy tắc quan trọng của lớp 7 là khi số mũ ở mẫu lớn hơn số mũ ở tử thì tách mẫu nhé! Ví dụ: $\frac{3^{21}}{3^{22}} = \frac{3^{21}}{3^{21} \cdot 3^1} = \frac{1}{3}$.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $B$.
$B = \frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
Chúng ta sẽ biến đổi các cơ số không phải là số nguyên tố về dạng lũy thừa của các số nguyên tố:
$27 = 3^3$
$125 = 5^3$
$9 = 3^2$
Thay các giá trị này vào biểu thức $B$:
$B = \frac{5^{16} \cdot (3^3)^7}{(5^3)^5 \cdot (3^2)^{11}}$
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$B = \frac{5^{16} \cdot 3^{3 \cdot 7}}{5^{3 \cdot 5} \cdot 3^{2 \cdot 11}}$
$B = \frac{5^{16} \cdot 3^{21}}{5^{15} \cdot 3^{22}}$
Bây giờ, chúng ta nhóm các lũy thừa có cùng cơ số và rút gọn:
$B = \left(\frac{5^{16}}{5^{15}}\right) \cdot \left(\frac{3^{21}}{3^{22}}\right)$
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:
Đối với cơ số $5$: $\frac{5^{16}}{5^{15}} = 5^{16-15} = 5^1 = 5$
Đối với cơ số $3$: $\frac{3^{21}}{3^{22}} = \frac{3^{21}}{3^{21} \cdot 3^1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$ (Vì số mũ ở mẫu lớn hơn số mũ ở tử)
Thay các kết quả đã rút gọn vào biểu thức $B$:
$B = 5 \cdot \frac{1}{3}$
$B = \frac{5}{3}$
Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{5}{3}$.
📝 Trình bày vào vở:
$B = \frac{5^{16} \cdot 27^7}{125^5 \cdot 9^{11}}$
$B = \frac{5^{16} \cdot (3^3)^7}{(5^3)^5 \cdot (3^2)^{11}}$
$B = \frac{5^{16} \cdot 3^{21}}{5^{15} \cdot 3^{22}}$
$B = \left(\frac{5^{16}}{5^{15}}\right) \cdot \left(\frac{3^{21}}{3^{22}}\right)$
$B = 5^{16-15} \cdot \frac{3^{21}}{3^{21} \cdot 3^1}$
$B = 5^1 \cdot \frac{1}{3^1}$
$B = 5 \cdot \frac{1}{3}$
$B = \frac{5}{3}$
c) Tính giá trị của biểu thức: $(-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Bài toán này có hai phần, một phép nhân và một phân số, nối với nhau bằng phép trừ. Mình sẽ giải quyết từng phần một nhé!
Phần 1: $(-0,2)^2 \cdot 5$
Hãy nhớ quy tắc: số âm mà có số mũ chẵn thì kết quả là số dương.
Chuyển $0,2$ về phân số để tính toán dễ hơn. $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Phần 2: $\frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
Tương tự như bài b), hãy đưa tất cả các cơ số về dạng số nguyên tố nhỏ nhất. Các em thấy $27 = 3^3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$.
Sau đó, áp dụng các quy tắc lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ và $\frac{a^m}{a^n}$ để rút gọn biểu thức. Đặc biệt lưu ý quy tắc tách lũy thừa ở mẫu khi số mũ mẫu lớn hơn tử.
Bước cuối: Thực hiện phép trừ. Sau khi đã tính được giá trị của cả hai phần, các em chỉ việc thực hiện phép trừ giữa hai kết quả đó. Cẩn thận khi quy đồng mẫu số nhé.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $C$.
$C = (-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
Tính giá trị của phần đầu tiên:
$(-0,2)^2 \cdot 5 = \left(-\frac{2}{10}\right)^2 \cdot 5$
$= \left(-\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 5$
Vì số mũ là $2$ (số chẵn), nên kết quả sẽ là số dương:
$= \frac{1}{25} \cdot 5$
$= \frac{5}{25}$
$= \frac{1}{5}$
Tính giá trị của phần phân số thứ hai:
$\frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
Biến đổi các cơ số về dạng lũy thừa của số nguyên tố: $27 = 3^3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$.
$= \frac{2^{13} \cdot (3^3)^3}{(2^2)^6 \cdot (3^2)^5}$
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$= \frac{2^{13} \cdot 3^{3 \cdot 3}}{2^{2 \cdot 6} \cdot 3^{2 \cdot 5}}$
$= \frac{2^{13} \cdot 3^9}{2^{12} \cdot 3^{10}}$
Nhóm các lũy thừa có cùng cơ số và rút gọn:
$= \left(\frac{2^{13}}{2^{12}}\right) \cdot \left(\frac{3^9}{3^{10}}\right)$
Đối với cơ số $2$: $\frac{2^{13}}{2^{12}} = 2^{13-12} = 2^1 = 2$
Đối với cơ số $3$: $\frac{3^9}{3^{10}} = \frac{3^9}{3^9 \cdot 3^1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$ (Vì số mũ ở mẫu lớn hơn số mũ ở tử)
Vậy, phần phân số có giá trị là:
$= 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Cuối cùng, thực hiện phép trừ:
$C = \frac{1}{5} - \frac{2}{3}$
Để trừ hai phân số, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của $5$ và $3$ là $15$.
$C = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$
$C = \frac{3}{15} - \frac{10}{15}$
$C = \frac{3 - 10}{15}$
$C = -\frac{7}{15}$
Vậy giá trị của biểu thức là $-\frac{7}{15}$.
📝 Trình bày vào vở:
$C = (-0,2)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 27^3}{4^6 \cdot 9^5}$
$C = \left(-\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot (3^3)^3}{(2^2)^6 \cdot (3^2)^5}$
$C = \frac{1}{25} \cdot 5 - \frac{2^{13} \cdot 3^{9}}{2^{12} \cdot 3^{10}}$
$C = \frac{1}{5} - \left(\frac{2^{13}}{2^{12}}\right) \cdot \left(\frac{3^9}{3^{10}}\right)$
$C = \frac{1}{5} - 2^{13-12} \cdot \frac{3^9}{3^9 \cdot 3^1}$
$C = \frac{1}{5} - 2^1 \cdot \frac{1}{3^1}$
$C = \frac{1}{5} - \frac{2}{3}$
$C = \frac{3}{15} - \frac{10}{15}$
$C = -\frac{7}{15}$
d) Tính giá trị của biểu thức: $\frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
💡 Hướng dẫn tư duy từng bước cho các em hiểu nhé:
Bài này trông có vẻ cồng kềnh ở tử số, nhưng các em hãy thật tinh ý một chút là sẽ tìm ra cách giải quyết rất nhanh gọn nhé!
Bước 1: Quan sát tử số và chuyển đổi cơ số. Các em thấy ở tử số có $5^6$, $25^3$, $125^2$. Mình có thể biến đổi $25$ và $125$ về dạng lũy thừa của $5$:
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$
Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa. Sau khi biến đổi cơ số, mình sẽ có dạng $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Bước 3: Tìm thừa số chung ở tử số. Sau khi biến đổi hết, các em sẽ thấy một điều thú vị là tất cả các số hạng ở tử số đều có một thừa số chung giống nhau. Hãy đặt thừa số chung đó ra ngoài nhé!
Bước 4: Rút gọn phân số. Sau khi đặt thừa số chung, các em sẽ thấy tử số và mẫu số có một thừa số chung để rút gọn. Việc này sẽ làm phân số trở nên rất đơn giản.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Gọi biểu thức cần tính là $D$.
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
Xét tử số: $5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2$
Chúng ta sẽ biến đổi $25$ và $125$ về dạng lũy thừa của $5$:
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$
Thay vào tử số:
$= 5^6 + 2^2 \cdot (5^2)^3 + 2^3 \cdot (5^3)^2$
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$= 5^6 + 2^2 \cdot 5^{2 \cdot 3} + 2^3 \cdot 5^{3 \cdot 2}$
$= 5^6 + 2^2 \cdot 5^6 + 2^3 \cdot 5^6$
Quan sát các số hạng, chúng ta thấy tất cả đều có chung thừa số $5^6$. Hãy đặt $5^6$ làm thừa số chung:
$= 5^6 \cdot (1 + 2^2 + 2^3)$
Tính toán giá trị trong ngoặc:
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$= 5^6 \cdot (1 + 4 + 8)$
$= 5^6 \cdot 13$
Thay tử số đã rút gọn vào biểu thức $D$:
$D = \frac{5^6 \cdot 13}{26 \cdot 5^6}$
Bây giờ, chúng ta thấy cả tử số và mẫu số đều có thừa số $5^6$. Hãy rút gọn chúng:
$D = \frac{13}{26}$
Rút gọn phân số $\frac{13}{26}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho $13$:
$D = \frac{13 \div 13}{26 \div 13} = \frac{1}{2}$
Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{1}{2}$.
📝 Trình bày vào vở:
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot 25^3 + 2^3 \cdot 125^2}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot (5^2)^3 + 2^3 \cdot (5^3)^2}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 + 2^2 \cdot 5^6 + 2^3 \cdot 5^6}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 \cdot (1 + 2^2 + 2^3)}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 \cdot (1 + 4 + 8)}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{5^6 \cdot 13}{26 \cdot 5^6}$
$D = \frac{13}{26}$
$D = \frac{1}{2}$
---
PHẦN TỔNG KẾT VÀ LƯU Ý CUỐI BÀI:
Qua các bài toán tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa này, Thầy muốn các em ghi nhớ một số lỗi sai phổ biến mà học sinh thường hay mắc phải để mình cùng tránh nhé:
1. Chưa đưa về cùng cơ số nguyên tố: Đây là lỗi thường gặp nhất. Nhiều bạn chỉ nhìn thấy $9$ và $27$ mà chưa nghĩ đến việc chúng đều là lũy thừa của $3$, hoặc $25, 125$ là lũy thừa của $5$. Hãy luôn cố gắng đưa về cơ số là số nguyên tố để việc rút gọn trở nên dễ dàng và chính xác nhất nhé.
2. Sai khi áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: Nhớ kĩ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, không phải $a^{m+n}$ hay $a^{m^n}$. Ví dụ: $(3^3)^7 = 3^{3 \cdot 7} = 3^{21}$, chứ không phải $3^{3+7}=3^{10}$.
3. Quên quy tắc dấu khi tính lũy thừa của số âm: $(-a)^n$ sẽ là số dương nếu $n$ là số chẵn, và là số âm nếu $n$ là số lẻ. Ví dụ: $(-0,2)^2 = (0,2)^2 = 0,04$ là số dương.
4. Sử dụng số mũ âm không đúng với chương trình THCS: Khi rút gọn phân số $\frac{a^m}{a^n}$ mà $n > m$, các em cần tách mẫu thành $a^m \cdot a^{n-m}$ rồi rút gọn, tránh viết thành $a^{m-n}$ ra số mũ âm (ví dụ: $a^{-2}$) vì kiến thức này chưa được học sâu ở THCS. Hãy bám sát cách trình bày như Thầy đã hướng dẫn.
5. Sai sót trong phép tính cộng/trừ phân số: Sau khi rút gọn được các giá trị, nếu biểu thức có phép cộng/trừ phân số, các em cần quy đồng mẫu số thật cẩn thận trước khi thực hiện phép tính nhé.
6. Không tìm thừa số chung ở tử số*: Ở bài d), nếu không tinh ý nhận ra $5^6$ là thừa số chung, bài toán sẽ trở nên rất phức tạp. Hãy luôn tìm cách đặt thừa số chung hoặc nhóm các số hạng để rút gọn.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 7
Tài liệu mới cập nhật
Bài 9 - Trang 22, TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
19/09/2026
109
Bài 8 - Trang 22, bài toán về hai đường thẳng song song
19/09/2026
27