Câu 4a. Cho △ABC cân tại A, có đường cao AH.

a) Chứng minh △ABH = △ACH

b) Vẽ đường trung tuyến BK của △ABC cắt AH tại G. Từ C kẻ đường thẳng song song với AH cắt BK tại

I. Chứng minh KG = KI

c) Gọi HI cắt CG tại O. Chứng minh 2. BG =3.CO

a) Chứng minh △ABH = △АCН

Xét rABH vuông tại H và rACH vuông tại H, ta có:

AB = AC (rABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Suy ra rABH = rACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

b) Chứng minh KG = KI

△ABC có đường trung tuyến BK ⇒ K là trung điểm AC ⇒ AK = CK

CI // AH (gt) ⇒ $\widehat{KAG}=\widehat{\text{KCI}}$( 2 góc soletrong)

Xét △AKG và △CKI, ta có.

$\widehat{AKG}=\widehat{\text{CKI}}$ (2 góc đối đỉnh)

AK = CK (cmt)

$\widehat{KAG}=\widehat{\text{KCI}}$ (cmt)

Suy ra △AKG = △CKI (g.c.g) ⇒ KG = KI (2 cạnh tương ứng)

c) Chứng minh 2. BG =3.CO

Ta có: rABH = rACH (cmt) ⇒ BH = HC (2 cạnh tương ứng) mà H Î BC nên H là trung điểm BC

rABC có trung tuyến BK và trung tuyến AH (do H là trung điểm BC) cắt nhau tại G ⇒  G là trọng tâm của rABC ⇒ BG = 2KG ( tính chất trọng tâm)

Ta có KG = KI(cmt) và G, I Î tia BK nên BG = 2KG = KG + KI = GI suy ra G là trung điểm BI.

rBCI có trung tuyến IH (do H là trung điểm BC)  và trung tuyến CG (do G là trung điểm BI) cắt nhau tại O ⇒  O là trọng tâm của rBCI ⇒ $CO=\tfrac{2}{3}CG$ ( tính chất trọng tâm) ⇒ 2.CG = 3.CO (1)

Ta có: H là trung điểm BC và AH ⊥ BC tại H (đường cao AH)

Nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC mà G Î AH nên BG = CG ( tính chất đường trung trực)

kết hợp (1) ta được: 2.BG = 3.CO