Bài 4. Cho △ABC cân tại A. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh ΔABI = ΔACI

b) Gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MI lấy K sao cho MI = MK.

Chứng minh ΔAMK = ΔCMI và AK // BI.

c) Qua I kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại N. Gọi G là giao điểm của BM và AI. Chứng minh ba điểm C, G, N thẳng hàng.

a) Chứng minh ΔABI = ΔACI

Xét ΔABI và ΔACI ta có

AB = AC (do ΔABC cân tại A)

AI là cạnh chung

BI = CI (do I là trung điểm BC)

Suy ra ΔABI = ΔACI (c.c.c)

b) Chứng minh ΔAMK = ΔCMI và AK // BI

Xét ΔAMK và ΔCMI ta có:

MK = MI (gt)

$\widehat{AMK}=\widehat{CMI}$ (hai góc đối đỉnh)

MA = MC (do M là trung điểm AC)

Suy ra ΔAMK = ΔCMI (c.g.c)

Suy ra: $\widehat{AKM}=\widehat{CIM}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí soletrong nên AK // BC mà I $\in$ BC nên AK // BI

c) Chứng minh ba điểm C, G, N thẳng hàng

Ta có NI//AC (gt) nên $\widehat{NIA}=\widehat{IAC}$ (2 góc soletrong)

Mà $\widehat{IAC}=\widehat{IAB}$(2 góc tương ứng của ΔABI = ΔACI)

Suy ra $\widehat{NIA}=\widehat{NAI}=\widehat{IAC}$

NAI có $\widehat{NIA}=\widehat{NAI}$(cmt) NAI cân tại N $\Rightarrow$  NA = NI (1)

Ta có NI//AC (gt) nên $\widehat{ACB}=\widehat{NIC}$ (2 góc đồng vị)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do ABC cân tại A)

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{NIC}=\widehat{ACB}$

NBI có $\widehat{ABC}=\widehat{NIC}$(cmt) NBI cân tại N $\Rightarrow$ NB = NI kết hợp (1) $\Rightarrow$ NB = NA = NI

Mà N $\in$ AB nên N là trung điểm AB

△ABC có trung tuyến AI(I là trung điểm của BC) và trung tuyến BM (M là trung điểm AC) cắt nhau tại G $\Rightarrow$  G là trọng tâm của △ABC,

CN là đường trung tuyến của △ABC (N là trung điểm AB) nên ta có EI = 2IM (tính chất trọng tâm) nên trung tuyến CN đi qua trọng tâm G $\Rightarrow$ ba điểm C, G, N thẳng hàng