Bài 5. (2,5 điểm) Cho rABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: rΑΒΗ = rACH.

b) Vẽ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC tại M và N. Chứng minh: rAMN cân.

c) Trên tia đối của tia NH lấy điểm E sao cho NE = NH. Gọi F là trung điểm của MH.

Gọi R, Q lần lượt là giao điểm của AH, EF với MN. Chứng minh: MN = 6.RQ.

a) Chứng minh: rΑΒΗ = rACH

Xét rΑΒΗ và rACH ta có

AB = AC (rABC cân tại A)

AH là cạnh chung

BH = CH (do H là trung điểm của BC)

Vậy rΑΒΗ = rACH (c-c-c)

b) Chứng minh: rAMN cân

Xét rΑMΗ vuông tại M và rANH vuông tại N ta có

AH là cạnh huyền chung

(2 góc tương ứng của rΑΒΗ = rACH)

Vậy rΑMΗ = rANH (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AM = AN (hai cạnh tương ứng)

Suy ra rAMN cân tại A.

c) Chứng minh: MN = 6.RQ

          Ta có rΑMΗ = rANH (cmt)

Þ AM = AN và HM = HN (2 cạnh tương ứng) Þ A, H nằm trên đường trung trực của MN suy ra AH là đường trung trực của MN Þ AH ^ MN tại R là trung điểm của MN.

Þ MN = 2.RN = 2(RQ+QN) = 2.RQ +2.QN(1)

Xét rMHE, ta có:

F là trung điểm của MH (gt)

N là trung điểm của HE (NE và NH là hai tia đối mà NE = NH)

Do đó: rMHE có hai trung tuyến EF và MN cát nhau tại Q Þ Q là trọng tâm của rMHE

Þ QN= Þ 3.QN = MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3.QN = 2.RQ +2.QN Þ QN=2.RQ

thế vào (2) ta được 3.2.RQ = MN Þ MN = 6.RQ