Bài 2: Chứng minh $C < \frac{1}{2}$

Đề bài: Cho $C = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{99}}$. Chứng minh $C < \frac{1}{2}$.

Khi có một dãy tổng mà các số hạng sau được tạo ra bằng cách nhân (hoặc chia) số hạng trước với một số cố định (ở đây là $\frac{1}{3}$), chúng ta gọi đó là Cấp số nhân.

Mẫu số của các phân số lần lượt là $3, 3^2, 3^3, \dots$

Quy luật là: Phân số đứng sau bằng phân số đứng trước chia cho 3.

Mục tiêu của chúng ta: Tạo ra một dãy mới gần giống dãy cũ nhưng "lệch" đi một bậc để khi trừ hai dãy cho nhau, phần ở giữa sẽ bị triệt tiêu hết.

Vì mẫu có cơ số 3, nên khi nhân thêm 3:

• $\frac{1}{3}$ biến thành $1$.

• $\frac{1}{3^2}$ biến thành $\frac{1}{3}$.

• $\frac{1}{3^3}$ biến thành $\frac{1}{3^2}$.

Các em có thấy điều kỳ diệu không? Các số hạng mới tạo ra chính là các số hạng cũ của dãy $C$!

Lời giải:

Nhân cả hai vế của $C$ với 3:

$3C = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{99}} \right)$

$3C = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{98}}$

Tính hiệu $3C - C$:

$3C - C = \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{98}} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{99}} \right)$

$2C = 1 - \frac{1}{3^{99}}$

Suy ra giá trị của $C$:

$C = \frac{1 - \frac{1}{3^{99}}}{2}$

So sánh với $\frac{1}{2}$:

Vì $\frac{1}{3^{99}} > 0$ nên $1 - \frac{1}{3^{99}} < 1$.

Do đó: $C = \frac{1 - \frac{1}{3^{99}}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.3^{99}}< \frac{1}{2}$.

Vậy $C < \frac{1}{2}$