Câu 5: (2,5 điểm) Cho rABC cân tại A, vẽ I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: rABI = rACI

b) Trên canh BC lần lượt lấy điểm D và E sao cho BD = CE (D thuộc đoạn BI, E thuộc đoạn CI). Chứng minh AD = AE

c) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại F; qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC và cắt AC tại G. Gọi H là giao điểm của FD và GE. Chứng minh 3 điểm A, I, H thẳng hàng.

a) Chứng minh: rABI = rACI

Xét rABI và rACI ta có:

AB = AC (rABC cân tại A)

AI là cạnh chung

BI = CI (do I là trung điểm của BC)

Suy ra rABI = rACI (c.c.c)

b) Chứng minh AD = AE

Xét rABD và rACE ta có:

AB = AC (cmt)

(rABC cân tại A)

BD = CE (gt)

Suy ra rABD = rACE (c.g.c) Þ AD = AE (2 cạnh tương ứng)

c) Chứng minh 3 điểm A, I, H thẳng hàng

Xét rFBD vuông tại F và rGCE vuông tại G ta có:

BD = CE (gt)

(cmt)

Suy ra rFBD = rGCE (cạnh huyền – góc nhọn) Þ (2 góc tương ứng)

Mà  (2 góc đối đỉnh) và  (2 góc đối đỉnh)

Nên

rDHE có  nên rDHE cân tại H Þ HD = HE nên H nằm trên đường trung trực của DE

Ta có AD = AE (cmt) nên A nằm trên đường trung trực của DE

Mà BI = CI, BD = CE nên DI = BI – BD = CI – CE = EI Þ DI = EI nên I nằm trên đường trung trực của DE

Vì A, I, H cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE do đó 3 điểm A, I, H thẳng hàng