Bài 57 trang 29
Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em. Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này bằng cách phá vỡ từng bước khó khăn nhé!
Đây là một bài toán rất hay thuộc chương số hữu tỉ và lũy thừa, giúp các em rèn luyện kỹ năng nhóm hạng tử và tính tổng các dãy số có quy luật.
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Tính tổng dãy lũy thừa: Để tính tổng $S = a + a^2 + \dots + a^n$, ta nhân cả hai vế với cơ số $a$, sau đó thực hiện phép trừ $aS - S$ để triệt tiêu các hạng tử ở giữa.
Chứng minh chia hết: Ta nhóm các hạng tử của tổng thành từng nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung là số cần chứng minh chia hết (hoặc bội của số đó).
Lưu ý về số hạng: Trước khi nhóm, cần đếm xem tổng có bao nhiêu số hạng. Ở đây $A$ có $96 - 1 + 1 = 96$ số hạng. Số 96 này rất quan trọng vì nó chia hết cho 2, 3, 4, 6 nên ta có thể nhóm tương ứng.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Chứng minh A chia hết cho các số.
Chia hết cho 6: Ta thấy $5 + 5^2 = 5 + 25 = 30$. Mà $30$ chia hết cho $6$. Vì $A$ có 96 số hạng (số chẵn), ta nhóm 2 số hạng liên tiếp vào 1 nhóm là vừa đủ.
Chia hết cho 31: Ta thấy $5 + 5^2 + 5^3 = 5 + 25 + 125 = 155$. Mà $155 = 31 . 5$, chia hết cho 31. Tổng có 96 số hạng, 96 chia hết cho 3 nên nhóm 3 số vào 1 nhóm sẽ hết.
Chia hết cho 26: Ta thấy $5 + 5^2 = 30$ không chia hết cho 26. Thử nhóm 4 số: $5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 = 5(1 + 5 + 25 + 125) = 5 . 156$. Mà $156 = 26 . 6$. Vì 96 chia hết cho 4 nên ta nhóm 4 số một.
Chia hết cho 126: Ta dùng kết quả câu trên để đưa về dạng:. "1 + 5^3 = 126" đó là kết quả ta muốn tìm, Vì A có thừa số 126 nên A chia hết cho 126.
Câu b: Tính giá trị A và B.
Với $A$: Nhân $5$ vào $A$ rồi lấy $5A - A$.
Với $B$: Đây là dãy đan dấu. Nhân $2$ vào $B$ rồi lấy $2B + B$ để các hạng tử đối nhau tự triệt tiêu.
1. Quên đếm số hạng: Nếu số hạng không chia hết cho số lượng trong nhóm (ví dụ nhóm 3 mà có 95 số hạng) thì sẽ bị dư, không chứng minh trực tiếp được.
2. Sai dấu ở biểu thức B: Đây là dãy trừ, các em hay nhầm lẫn khi cộng $2B$ với $B$. Hãy nhớ: nếu các hạng tử xen kẽ dấu $(+ , -)$ thì ta dùng phép cộng hai vế để triệt tiêu.
3. Nhầm lẫn số mũ: Khi nhân $5A$, số mũ cuối cùng phải là $5^{97}$, nhiều em ghi nhầm thành $5^{96}$.
Bài tập: Cho $S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{60}$.
1. Chứng minh $S$ chia hết cho 4 và 13.
2. Tính giá trị của $S$.
Lời giải nhanh:
1.
$S = (3 + 3^2) + \dots = 3.(1 + 3) + \dots = 3 . 4 + \dots \vdots 4$.
* $S = (3 + 3^2 + 3^3) + \dots = 3.(1 + 3 + 9) + \dots = 3 . 13 + \dots \vdots 13$.
2.
$3S = 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{61}$
$3S - S = 3^{61} - 3 \Rightarrow 2S = 3^{61} - 3 \Rightarrow S = \frac{3^{61} - 3}{2}$.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đây là một bài toán rất hay thuộc chương số hữu tỉ và lũy thừa, giúp các em rèn luyện kỹ năng nhóm hạng tử và tính tổng các dãy số có quy luật.
Bài 57: Cho hai biểu thức:
$A = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{96}$
$B = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + \dots + 2^2 - 2$
a) Chứng tỏ rằng $A$ chia hết cho $6; 31; 26; 126$.
b) Tính giá trị của $A$ và $B$.
$A = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{96}$
$B = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + \dots + 2^2 - 2$
a) Chứng tỏ rằng $A$ chia hết cho $6; 31; 26; 126$.
b) Tính giá trị của $A$ và $B$.
💡 Phương pháp & Kiến thức cần nhớ
Tính tổng dãy lũy thừa: Để tính tổng $S = a + a^2 + \dots + a^n$, ta nhân cả hai vế với cơ số $a$, sau đó thực hiện phép trừ $aS - S$ để triệt tiêu các hạng tử ở giữa.
Chứng minh chia hết: Ta nhóm các hạng tử của tổng thành từng nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung là số cần chứng minh chia hết (hoặc bội của số đó).
Lưu ý về số hạng: Trước khi nhóm, cần đếm xem tổng có bao nhiêu số hạng. Ở đây $A$ có $96 - 1 + 1 = 96$ số hạng. Số 96 này rất quan trọng vì nó chia hết cho 2, 3, 4, 6 nên ta có thể nhóm tương ứng.
💬 Lời giải giảng chi tiết (Đọc để hiểu)
Câu a: Chứng minh A chia hết cho các số.
Chia hết cho 6: Ta thấy $5 + 5^2 = 5 + 25 = 30$. Mà $30$ chia hết cho $6$. Vì $A$ có 96 số hạng (số chẵn), ta nhóm 2 số hạng liên tiếp vào 1 nhóm là vừa đủ.
Chia hết cho 31: Ta thấy $5 + 5^2 + 5^3 = 5 + 25 + 125 = 155$. Mà $155 = 31 . 5$, chia hết cho 31. Tổng có 96 số hạng, 96 chia hết cho 3 nên nhóm 3 số vào 1 nhóm sẽ hết.
Chia hết cho 26: Ta thấy $5 + 5^2 = 30$ không chia hết cho 26. Thử nhóm 4 số: $5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 = 5(1 + 5 + 25 + 125) = 5 . 156$. Mà $156 = 26 . 6$. Vì 96 chia hết cho 4 nên ta nhóm 4 số một.
Chia hết cho 126: Ta dùng kết quả câu trên để đưa về dạng:. "1 + 5^3 = 126" đó là kết quả ta muốn tìm, Vì A có thừa số 126 nên A chia hết cho 126.
a) Chứng minh $A$ chia hết cho $6; 31; 26; 126$
Chia hết cho 6:
$A = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + \dots + (5^{95} + 5^{96})$
$A = 5.(1 + 5) + 5^3.(1 + 5) + \dots + 5^{95}.(1 + 5)$
$A = 5 . 6 + 5^3 . 6 + \dots + 5^{95} . 6 = 6 . (5 + 5^3 + \dots + 5^{95}) \vdots 6$.
Chia hết cho 26:
$A = (5 + 5^2 + 5^3 + 5^4) + \dots + (5^{93} + 5^{94} + 5^{95} + 5^{96})$
$A = 5.(1 + 5 + 25 + 125) + \dots + 5^{93}.(1 + 5 + 25 + 125)$
$A = 5 . 156 + \dots + 5^{93} . 156 = 156 . (5 + \dots + 5^{93})$.
Vì $156 = 26 . 6$ nên $156 \vdots 26 \Rightarrow A \vdots 26$.
Chia hết cho 31:
$A = (5 + 5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5 + 5^6)+\dots + (5^{94} + 5^{95} + 5^{96})$
$A = 5.(1 + 5 + 5^2)+5^4.(1 + 5 + 5^2) + \dots + 5^{94}.(1 + 5 + 25)$
$A = 5 . 31 +5^4 . 31 + \dots + 5^{94} . 31 = 31 . (5 + 5^4+\dots + 5^{94}) \vdots 31$.
Chia hết cho 126:
Đặt $D = 5 + 5^4+5^7 + 5^{10} +\dots + 5^{91}+ 5^{94}$
$D = 5 + 5^4+5^7 + 5^{10} +\dots + 5^{91}+ 5^{94}$
$D = (5 + 5^4) + (5^7 + 5^{10})+ \dots + (5^{91}+ 5^{94})$
$D = 5.(1 + 5^3) + 5^7.(1 + 5^3) + \dots + 5^{91}.(1 + 5^3)$
$D = 5.126 + 5^7.126 +\dots + 5^{91}.126$
$D = (5 + 5^7 + \dots + 5^{91}) . 126 $.
$\Rightarrow D \vdots 126$
Mà $A = 31. D$
$A = 31(5 + 5^7 + \dots + 5^{91}) . 126 $.
Vì A có thừa số 126 nên A chia hết cho 126 nên $\Rightarrow A \vdots 126$.
Chia hết cho 6:
$A = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + \dots + (5^{95} + 5^{96})$
$A = 5.(1 + 5) + 5^3.(1 + 5) + \dots + 5^{95}.(1 + 5)$
$A = 5 . 6 + 5^3 . 6 + \dots + 5^{95} . 6 = 6 . (5 + 5^3 + \dots + 5^{95}) \vdots 6$.
Chia hết cho 26:
$A = (5 + 5^2 + 5^3 + 5^4) + \dots + (5^{93} + 5^{94} + 5^{95} + 5^{96})$
$A = 5.(1 + 5 + 25 + 125) + \dots + 5^{93}.(1 + 5 + 25 + 125)$
$A = 5 . 156 + \dots + 5^{93} . 156 = 156 . (5 + \dots + 5^{93})$.
Vì $156 = 26 . 6$ nên $156 \vdots 26 \Rightarrow A \vdots 26$.
Chia hết cho 31:
$A = (5 + 5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5 + 5^6)+\dots + (5^{94} + 5^{95} + 5^{96})$
$A = 5.(1 + 5 + 5^2)+5^4.(1 + 5 + 5^2) + \dots + 5^{94}.(1 + 5 + 25)$
$A = 5 . 31 +5^4 . 31 + \dots + 5^{94} . 31 = 31 . (5 + 5^4+\dots + 5^{94}) \vdots 31$.
Chia hết cho 126:
Đặt $D = 5 + 5^4+5^7 + 5^{10} +\dots + 5^{91}+ 5^{94}$
$D = 5 + 5^4+5^7 + 5^{10} +\dots + 5^{91}+ 5^{94}$
$D = (5 + 5^4) + (5^7 + 5^{10})+ \dots + (5^{91}+ 5^{94})$
$D = 5.(1 + 5^3) + 5^7.(1 + 5^3) + \dots + 5^{91}.(1 + 5^3)$
$D = 5.126 + 5^7.126 +\dots + 5^{91}.126$
$D = (5 + 5^7 + \dots + 5^{91}) . 126 $.
$\Rightarrow D \vdots 126$
Mà $A = 31. D$
$A = 31(5 + 5^7 + \dots + 5^{91}) . 126 $.
Vì A có thừa số 126 nên A chia hết cho 126 nên $\Rightarrow A \vdots 126$.
Câu b: Tính giá trị A và B.
Với $A$: Nhân $5$ vào $A$ rồi lấy $5A - A$.
Với $B$: Đây là dãy đan dấu. Nhân $2$ vào $B$ rồi lấy $2B + B$ để các hạng tử đối nhau tự triệt tiêu.
b) Tính giá trị A, B
Tính A:
$A = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{96}$
$5A = 5^2 + 5^3 + 5^4 + \dots + 5^{97}$
$5A - A = (5^2 + 5^3 + \dots + 5^{97}) - (5 + 5^2 + \dots + 5^{96})$
$4A = 5^{97} - 5$
$A = \frac{5^{97} - 5}{4}$.
Tính B:
$B = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + \dots + 2^2 - 2$
$2B = 2^{101} - 2^{100} + 2^{99} - 2^{98} + \dots + 2^3 - 2^2$
$2B + B = (2^{101} - 2^{100} + \dots - 2^2) + (2^{100} - 2^{99} + \dots - 2)$
$3B = 2^{101} - 2$ (do các hạng tử từ $2^{100}$ đến $2^2$ triệt tiêu lẫn nhau vì trái dấu)
$B = \frac{2^{101} - 2}{3}$.
Tính A:
$A = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{96}$
$5A = 5^2 + 5^3 + 5^4 + \dots + 5^{97}$
$5A - A = (5^2 + 5^3 + \dots + 5^{97}) - (5 + 5^2 + \dots + 5^{96})$
$4A = 5^{97} - 5$
$A = \frac{5^{97} - 5}{4}$.
Tính B:
$B = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + \dots + 2^2 - 2$
$2B = 2^{101} - 2^{100} + 2^{99} - 2^{98} + \dots + 2^3 - 2^2$
$2B + B = (2^{101} - 2^{100} + \dots - 2^2) + (2^{100} - 2^{99} + \dots - 2)$
$3B = 2^{101} - 2$ (do các hạng tử từ $2^{100}$ đến $2^2$ triệt tiêu lẫn nhau vì trái dấu)
$B = \frac{2^{101} - 2}{3}$.
⚠️ Các lỗi sai học sinh hay mắc phải
1. Quên đếm số hạng: Nếu số hạng không chia hết cho số lượng trong nhóm (ví dụ nhóm 3 mà có 95 số hạng) thì sẽ bị dư, không chứng minh trực tiếp được.
2. Sai dấu ở biểu thức B: Đây là dãy trừ, các em hay nhầm lẫn khi cộng $2B$ với $B$. Hãy nhớ: nếu các hạng tử xen kẽ dấu $(+ , -)$ thì ta dùng phép cộng hai vế để triệt tiêu.
3. Nhầm lẫn số mũ: Khi nhân $5A$, số mũ cuối cùng phải là $5^{97}$, nhiều em ghi nhầm thành $5^{96}$.
🎯 Bài tập tương tự (Tự luyện)
Bài tập: Cho $S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{60}$.
1. Chứng minh $S$ chia hết cho 4 và 13.
2. Tính giá trị của $S$.
Lời giải nhanh:
1.
$S = (3 + 3^2) + \dots = 3.(1 + 3) + \dots = 3 . 4 + \dots \vdots 4$.
* $S = (3 + 3^2 + 3^3) + \dots = 3.(1 + 3 + 9) + \dots = 3 . 13 + \dots \vdots 13$.
2.
$3S = 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{61}$
$3S - S = 3^{61} - 3 \Rightarrow 2S = 3^{61} - 3 \Rightarrow S = \frac{3^{61} - 3}{2}$.
Chúc các em học tốt! Nếu chỗ nào chưa hiểu, hãy hỏi lại Thầy nhé!
Đang được quan tâm nhất Khối 7
Tài liệu mới cập nhật
Bài 9 - Trang 22, TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
19/09/2026
109
Bài 8 - Trang 22, bài toán về hai đường thẳng song song
19/09/2026
27