Bài 6. (2,5 điểm) Cho △ABC (AB < AC) và có đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy K sao cho HA = HK .

a) Chứng minh △ΑΗC = △ΚΗC.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và KC. Chứng minh △HMC = △HNC.

c) Chứng minh △BMN cân.

a) Chứng minh △AHC = △ KHC.

Xét rAHC vuông tại H và rKHC vuông tại H, ta có:

CH là cạnh chung

HA = HK  (gt)

Suy ra rAHC = rKHC (2 cạnh góc vuông)

b) Chứng minh △HMC = △HNC

Ta có rAHC = rKHC (cmt) ⇒ $\widehat{ACH}=\widehat{KCH}$ (2 góc tương ứng) và AC = KC (2 cạnh tương ứng)

Mà M, N lần lượt là trung điểm của AC và KC nên ta có

$CM=AM=\tfrac{1}{2}AC=\tfrac{1}{2}KC=CN=NK$

Xét △HMC và △HNC ta có:

CM = CN (cmt)

$\widehat{ACH}=\widehat{KCH}$ (cmt)

CH là cạnh chung

Suy ra △HMC = △HNC (c.g.c)

c) Chứng minh △BMN cân.

Ta có △HMC = △HNC(cmt) ⇒ HM = HN (2 cạnh tương ứng) ⇒ H nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Mà CM = CN (cmt) ⇒ C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Suy ra CH là đường trung trực của đoạn thẳng MN mà B Î CH ⇒ BM = BN (tính chất đường trung trực)

△BMN có BM = BN (cmt) ⇒ △BMN cân tại B.