3) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là $27 \text{ cm}$, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là $24 \text{ cm}$. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó.
Lời giải
Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là $S_1, S_2, S_3$, chiều dài, chiều rộng tương ứng là $d_1, r_1; d_2, r_2; d_3, r_3$ do đó: $S_1 = d_1.r_1; S_2 = d_2.r_2; S_3 = d_3.r_3$
theo đề bài ta có
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{5}; \frac{S_2}{S_3} = \frac{7}{8}$ và $d_1 = d_2; r_1 + r_2 = 27; r_2 = r_3, d_3 = 24$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{5} = \frac{d_1.r_1}{d_2.r_2} = \frac{r_1}{r_2} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{r_1}{4} = \frac{r_2}{5}$
Do đó: $\frac{r_1}{4} = \frac{r_2}{5} = \frac{r_1 + r_2}{9} = \frac{27}{9} = 3$ ta tính được chiều rộng $r_1 = 12cm, r_2 = 15cm$
Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng
$\frac{S_2}{S_3} = \frac{7}{8} = \frac{d_2.r_2}{d_3.r_3} = \frac{d_2}{d_3} \Rightarrow \frac{d_2}{d_3} = \frac{7}{8} \Rightarrow d_2 = \frac{7d_3}{8} = \frac{7.24}{8} = 21cm$
Vậy diện tích hình thứ hai $S_2 = d_2r_2 = 21.15 = 315 \text{ cm}^2$
Diện tích hình thứ nhất $S_1 = \frac{4}{5}S_2 = \frac{4}{5}.315 = 252 \text{ cm}^2$
Diện tích hình thứ ba $S_3 = \frac{8}{7}S_2 = \frac{8}{7}.315 = 360 \text{ cm}^2$